Prove o Princípio dos Bons Conjuntos: Dado C e G duas coleção de subconjuntos de Omega. Se
bul<=t subset subset G;
  • G é uma sigma-álgebra
Então sigmalang<=Crang<= subset G.

Passo 1

Enunciado resumido: Temos um espaço Omega e duas coleções de subconjuntos, C e G, com Csubset G e G sendo uma sigma-álgebra. Queremos provar que sigmalang<= Crang<=subset G. Vamos usar a definição de sigma-álgebra gerada por interseção.

Passo 2

Pela definição de sigma-álgebra gerada, sigmalang<= Crang<= é a interseção de todas as sigma-álgebras que contêm C. Formalmente:
[
sigma\langle \mathcal{C}\rangle = \bigcap{\mathcal{F}\subset 2^\Omega : \mathcal{F}é uma\sigma-álgebra e\mathcal{C}\subset \mathcal{F}}.
]

Passo 3

Como G é uma sigma-álgebra contendo C, ela faz parte do conjunto sobre o qual fazemos a interseção na definição acima. Logo, a interseção resulta em um conjunto contido em cada uma dessas sigma-álgebras, em particular em G.

Resposta

sigmalang<= Crang<= subset G.

Exercícios relacionados