Prove o Princípio dos Bons Conjuntos: Dado
e
duas coleção de subconjuntos de
. Se
;
-
é uma
-álgebra
Então
.
Passo 1
Enunciado resumido: Temos um espaço
e duas coleções de subconjuntos,
e
, com
e
sendo uma
-álgebra. Queremos provar que
. Vamos usar a definição de
-álgebra gerada por interseção.
Passo 2
Pela definição de
-álgebra gerada,
é a interseção de todas as
-álgebras que contêm
. Formalmente:
[
sigma\langle \mathcal{C}\rangle = \bigcap{\mathcal{F}\subset 2^\Omega : \mathcal{F}é uma\sigma-álgebra e\mathcal{C}\subset \mathcal{F}}.
]
sigma\langle \mathcal{C}\rangle = \bigcap{\mathcal{F}\subset 2^\Omega : \mathcal{F}é uma\sigma-álgebra e\mathcal{C}\subset \mathcal{F}}.
]
Passo 3
Como
é uma
-álgebra contendo
, ela faz parte do conjunto sobre o qual fazemos a interseção na definição acima. Logo, a interseção resulta em um conjunto contido em cada uma dessas
-álgebras, em particular em
.