(Passeio Aleatório) Suponha que que uma partícula está inicialmente na origem e se move para a esquerda ou para a direita um passo de cada
vez, aleatoriamente, com a probabilidade p de ir para a esquerda eq de ir para a direita (com p+q= 1). Deixe Sn denotar a A posição do passeio aleatório após n passos.
a) Determine a probabilidade da partícula estar na posição x após n etapas.
b) Calcule p=q=
c) Calcule 1 / 2
d) Analise detalhadamenteo caso .

Passo 1

O problema fala de um passeio aleatório unidimensional em que cada passo é +1 (direita) com probabilidade q=1−p ou −1 (esquerda) com probabilidade p. Chamamos S_n=∑_{i=1}^n X_i, onde cada X_i ∈{+1,−1}. Precisamos achar a) a lei de probabilidade de S_n, b) E(S_n), c) Var(S_n) e d) o caso especial p=q=1/2.

Passo 2

Para encontrar P(S_n=x) note que, para obter S_n=x, precisamos ter k passos +1 e n−k passos −1 tais que 2k−n=x, ou seja k=(n+x)/2. A probabilidade de exatamente k passos +1 é binomial, logo
P(Sn=x)=binomnk,q^k,p^n-k, k=n+x2,
em que só faz sentido se k for inteiro e |x|≤n e x≡n (mod 2).

Passo 3

A esperança vem da linearidade: E(S_n)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=nE(X_1). Como E(X_1)=(+1)q+(−1)p=q−p, temos
E(Sn)=n(q-p)

Passo 4

Para a variância usamos Var(S_n)=\sum_{i=1}^n Var(X_i) pois os X_i são independentes. Como X_i^2=1 sempre,
Var(Xi)=E(Xi^2)-[E(Xi)]^2=1-(q-p)^2=4pq,

Passo 5

logo
Var(Sn)=ncdot4pq=4npq

Passo 6

No caso p=q=1/2 temos E(X_1)=0 e Var(X_1)=1, então E(S_n)=0 e Var(S_n)=n. A distribuição vira
P(Sn=x)=binomnn+x2(tfrac12)^n,

Passo 7

que é simétrica e, para n grande, aproxima-se de uma normal N(0,n) pelo Teorema Central do Limite.

Resposta

a) A lei de probabilidade é
P(Sn=x)=binomnn+x2,q^n+x2,p^n-x2, xequiv npmod2, |x|<= n
b) E(Sn)=n(q-p).
c) Var(Sn)=4npq.
d) Para p=q=1/2:
P(Sn=x)=binomnn+x2(tfrac12)^n,
E(Sn)=0 e Var(Sn)=n.

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