(Passeio Aleatório) Suponha que que uma partícula está inicialmente na origem e se move para a esquerda ou para a direita um passo de cada
vez, aleatoriamente, com a probabilidade
de ir para a esquerda eq de ir para a direita (com
1). Deixe
denotar a A posição do passeio aleatório após n passos.
a) Determine a probabilidade da partícula estar na posição
após
etapas.
b) Calcule
c) Calcule
d) Analise detalhadamenteo caso
.
vez, aleatoriamente, com a probabilidade
a) Determine a probabilidade da partícula estar na posição
b) Calcule
c) Calcule
d) Analise detalhadamenteo caso
Passo 1
O problema fala de um passeio aleatório unidimensional em que cada passo é +1 (direita) com probabilidade q=1−p ou −1 (esquerda) com probabilidade p. Chamamos S_n=∑_{i=1}^n X_i, onde cada X_i ∈{+1,−1}. Precisamos achar a) a lei de probabilidade de S_n, b) E(S_n), c) Var(S_n) e d) o caso especial p=q=1/2.
Passo 2
Para encontrar P(S_n=x) note que, para obter S_n=x, precisamos ter k passos +1 e n−k passos −1 tais que 2k−n=x, ou seja k=(n+x)/2. A probabilidade de exatamente k passos +1 é binomial, logo
em que só faz sentido se k for inteiro e |x|≤n e x≡n (mod 2).
Passo 3
A esperança vem da linearidade: E(S_n)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=nE(X_1). Como E(X_1)=(+1)q+(−1)p=q−p, temos
Passo 4
Para a variância usamos Var(S_n)=\sum_{i=1}^n Var(X_i) pois os X_i são independentes. Como X_i^2=1 sempre,
Passo 5
logo
Passo 6
No caso p=q=1/2 temos E(X_1)=0 e Var(X_1)=1, então E(S_n)=0 e Var(S_n)=n. A distribuição vira
Passo 7
que é simétrica e, para n grande, aproxima-se de uma normal N(0,n) pelo Teorema Central do Limite.
Resposta
a) A lei de probabilidade é
b)
.
c)
.
d) Para
: