Prove o Teorema da Classe Monótona de Halmos

Passo 1

Enunciado resumido: queremos provar o Teorema da Classe Monótona de Halmos, que diz que, para uma álgebra de conjuntos E num espaço X, a menor classe monótona que contém E coincide com a σ-álgebra gerada por E. Vamos usar definições de álgebra, classe monótona e σ-álgebra.

Passo 2

Definições chave: seja M(E) a interseção de todas as classes monótonas que contêm E (ou seja, a menor classe monótona contendo E). Seja sigma(E) a interseção de todas as σ-álgebras que contêm E. Nosso objetivo é mostrar M(E)=sigma(E).

Passo 3

Passo 1 – M(E)subseteqsigma(E): qualquer σ-álgebra é, em particular, uma classe monótona. Como sigma(E) é a menor σ-álgebra contendo E, ela contém E e, sendo classe monótona, contém também M(E). Logo,
block:
M(E)subseteqsigma(E)

Passo 4

Passo 2 – mostrar que M(E) é σ-álgebra: precisamos de três propriedades: complementos, união finita e união contável.

Passo 5

Passo 3 – fechamento em complementos: defina
block:
C=Ain M(E):A^cin M(E)

Passo 6

Mostre que C é classe monótona:
  • Se Anin C e Anuparrow A, então A=cup Anin M(E) e os An^c formam sequência decrescente, logo
    block:
A^c=cap An^cin M(E)

Passo 7

  • Se Anin C e Andownarrow A, então A=cap Anin M(E) e os An^c crescem, logo
    block:
A^c=cup An^cin M(E)

Passo 8

Como E é álgebra, para cada Ain E vale A^cin Esubseteq M(E), logo Esubseteq C. Pelo minimalismo de M(E) segue C=M(E), ou seja M(E) é fechado em complementos.

Passo 9

Passo 4 – fechamento em união finita: defina
block:
D=Ain M(E):forall Bin M(E),;Acup Bin M(E)

Passo 10

Argumente exatamente como no passo anterior que D é classe monótona e contém E, pois E é álgebra fechada em união finita. Conclui-se D=M(E), ou seja M(E) é fechado em uniões finitas.

Passo 11

Passo 5 – fechamento em união contável: seja (An) sequência em M(E). Pelas uniões finitas definimos Bn=A1cupcdotscup Anin M(E) e Bnuparrowcupn An. Como M(E) é classe monótona,
block:
cupn=1^infty An=cupn=1^infty Bnin M(E)

Passo 12

Assim, M(E) é σ-álgebra.

Passo 13

Passo 6 – sigma(E)subseteq M(E): como M(E) é σ-álgebra contendo E, pela definição de sigma(E) (menor σ-álgebra que contém E) temos
block:
sigma(E)subseteq M(E)

Passo 14

Combinação: de M(E)subseteqsigma(E) e sigma(E)subseteq M(E) vem
block:
M(E)=sigma(E),

Passo 15

que é exatamente o Teorema da Classe Monótona de Halmos.

Resposta

O Teorema da Classe Monótona de Halmos afirma que, dada uma álgebra de conjuntos E, a menor classe monótona que a contém coincide exatamente com a σ-álgebra gerada por E.

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