Prove o Teorema da Classe Monótona de Halmos
Passo 1
Enunciado resumido: queremos provar o Teorema da Classe Monótona de Halmos, que diz que, para uma álgebra de conjuntos
num espaço
, a menor classe monótona que contém
coincide com a σ-álgebra gerada por
. Vamos usar definições de álgebra, classe monótona e σ-álgebra.
Passo 2
Definições chave: seja
a interseção de todas as classes monótonas que contêm
(ou seja, a menor classe monótona contendo
). Seja
a interseção de todas as σ-álgebras que contêm
. Nosso objetivo é mostrar
.
Passo 3
Passo 1 –
: qualquer σ-álgebra é, em particular, uma classe monótona. Como
é a menor σ-álgebra contendo
, ela contém
e, sendo classe monótona, contém também
. Logo,
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Passo 4
Passo 2 – mostrar que
é σ-álgebra: precisamos de três propriedades: complementos, união finita e união contável.
Passo 5
Passo 3 – fechamento em complementos: defina
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Passo 6
Mostre que
é classe monótona:
- Se
e , então e os formam sequência decrescente, logo
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Passo 7
- Se
e , então e os crescem, logo
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Passo 8
Como
é álgebra, para cada
vale
, logo
. Pelo minimalismo de
segue
, ou seja
é fechado em complementos.
Passo 9
Passo 4 – fechamento em união finita: defina
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Passo 10
Argumente exatamente como no passo anterior que
é classe monótona e contém
, pois
é álgebra fechada em união finita. Conclui-se
, ou seja
é fechado em uniões finitas.
Passo 11
Passo 5 – fechamento em união contável: seja
sequência em
. Pelas uniões finitas definimos
e
. Como
é classe monótona,
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Passo 12
Assim,
é σ-álgebra.
Passo 13
Passo 6 –
: como
é σ-álgebra contendo
, pela definição de
(menor σ-álgebra que contém
) temos
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Passo 14
Combinação: de
e
vem
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Passo 15
que é exatamente o Teorema da Classe Monótona de Halmos.
Resposta
O Teorema da Classe Monótona de Halmos afirma que, dada uma álgebra de conjuntos E, a menor classe monótona que a contém coincide exatamente com a σ-álgebra gerada por E.