27 Carga elétrica está distribuída por um volume cilíndrico muito longo de raio R, de modo que a densidade de carga aumenta com a distância r do eixo central do cilindro de acordo com rho=alpha r, em que alpha é uma constante. Mostre que o campo desta distribuição de carga é direcionado radialmente em relação ao cilindro e que
& E=alpha r^23 epsilon0 , se r <= R & E=alpha R^33 epsilon0 r , se r >= R

Passo 1

Beleza, amigo! A questão diz que temos um cilindro infinito de raio com densidade volumétrica de carga que varia conforme . A gente precisa usar Lei de Gauss pra achar o campo elétrico tanto dentro ( ) quanto fora ( ) do cilindro. Vamos precisar de:
  • Lei de Gauss em forma integral,
  • Simetria cilíndrica pra escolher a superfície gaussiana,
  • Cálculo de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que o campo é radial: pela simetria do problema (cilindro infinito e densidade só depende de oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0 ), o campo não pode ter componentes ao longo do eixo nem ângulos diferentes; sobra só a direção radial. Então escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio E(r);times;(2pi,r,L), e comprimento .
Aplicando a Lei de Gauss:
Como é radial e constante em toda a lateral do cilindro gaussiano, o fluxo é

Passo 3

Agora a gente calcula a carga interna dQ ;=;rho(r'),dV ;=;alpha,r';(,2pi r',L,dr',) dentro desse cilindro de raio Qint =integral0^r alpha,r',(2pi r' L),dr' =2pialpha Lintegral0^r r'^2,dr' =2pialpha L,r^33 =2pialpha L,r^33 . Em coordenadas cilíndricas:
E(r),(2pi rL) ;=;1varepsilon0,2pialpha L,r^33 Longrightarrow E(r)=alpha,r^23,varepsilon0,
Integramos de até :
Substituindo na Lei de Gauss:
válido para .

Passo 4

Para Qtotal =2pialpha L,R^33 , toda a carga do cilindro de raio E(r),(2pi rL) =Qtotalvarepsilon0 =2pialpha L,R^33varepsilon0 Longrightarrow E(r)=alpha,R^33,varepsilon0,r, contribui, então basta repetir com na carga interna total:
O fluxo pela superfície de raio
válido para .

Resposta

E direcionado radialmente, com módulo
boxed E(r)= alpha,r^23,varepsilon0, & r<= R,[6pt] alpha,R^33,varepsilon0,r, & r>= R

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