27 Carga elétrica está distribuída por um volume cilíndrico muito longo de raio
, de modo que a densidade de carga aumenta com a distância
do eixo central do cilindro de acordo com
, em que
é uma constante. Mostre que o campo desta distribuição de carga é direcionado radialmente em relação ao cilindro e que
Passo 1
Beleza, amigo! A questão diz que temos um cilindro infinito de raio
com densidade volumétrica de carga que varia conforme
. A gente precisa usar Lei de Gauss pra achar o campo elétrico
tanto dentro (
) quanto fora (
) do cilindro. Vamos precisar de:
- Lei de Gauss em forma integral,
- Simetria cilíndrica pra escolher a superfície gaussiana,
- Cálculo de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que o campo é radial: pela simetria do problema (cilindro infinito e densidade só depende de
), o campo não pode ter componentes ao longo do eixo nem ângulos diferentes; sobra só a direção radial. Então escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
e comprimento
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Como
é radial e constante em toda a lateral do cilindro gaussiano, o fluxo é
Passo 3
Agora a gente calcula a carga interna
dentro desse cilindro de raio
. Em coordenadas cilíndricas:
Integramos de
até
:
Substituindo na Lei de Gauss:
válido para
.
Passo 4
Para
, toda a carga do cilindro de raio
contribui, então basta repetir com
na carga interna total:
O fluxo pela superfície de raio
dá
válido para
.
Resposta
E direcionado radialmente, com módulo