28 A densidade de carga superficial em um longo tubo metálico reto é sigma. Qual é o campo elétrico fora e dentro do tubo? Suponha que o tubo tenha um diâmetro de 2 a.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um tubo metálico bem longo, com diâmetro , e a densidade de carga está só na superfície externa dele, valendo . A ideia aqui é usar eletrostática básica – mais especificamente a Lei de Gauss – pra achar o campo elétrico dentro do tubo (ou seja, para ) e fora do tubo ( ). Vamos precisar relembrar a Lei de Gauss e também a propriedade de que, em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo no interior do material metálico é zero.

Passo 2

Campo elétrico fora do tubo ( oint Ecdot dA ;=;Qencvarepsilon0 )
  1. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio E(r)times 2pi r L (com Qenc = sigma times (área da superfície do tubo) = sigma times (2pi a L) ) e comprimento E(r),2pi r L ;=;sigma,2pi a Lvarepsilon0 Rightarrow E(r) = sigma,avarepsilon0,r , coaxial com o tubo.
  2. A Lei de Gauss diz: boxedE(r)=sigma,avarepsilon0,r(radial para fora)
  3. Como o campo é radial e a superfície tem área lateral , o lado esquerdo vira
  4. A carga envolvida é toda a carga no tubo que passa dentro dessa superfície, ou seja áí
  5. Substituindo na Gauss:
Logo, para :

Passo 3

Campo elétrico dentro do tubo ( oint Ecdot dA = 0 Rightarrow E(r)=0 )
  1. No interior do condutor (e na cavidade interna do tubo) não tem carga volumétrica, e o condutor garante que o campo interno seja zero.
  2. Se fizermos uma superfície gaussiana de raio boxedE(r)=0 , não haverá carga envolvida ( ).
  3. Logo, pela Lei de Gauss:
Então, para :

Resposta

Ficou assim:
  • Para : .
  • Para : (apontando para fora).

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