Considere os seguintes subespaços vetoriais de R^3 :
V=[(1,1,0),(1,0,-1)] e W=(x, y, z) in R^3: x-y=0
Encontre V cap W e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais em R^3:
  • V é gerado pelos vetores (1,1,0) e (1,0,-1).
  • W é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação x - y = 0.
Nosso objetivo é encontrar a interseção desses subespaços, ou seja, V cap W, e descobrir sua dimensão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção V cap W. Um vetor está em V cap W se ele pertence tanto a V quanto a W. Então, precisamos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como combinações lineares dos vetores geradores de V e que também satisfazem a equação que define W.

Passo 3

Vamos considerar um vetor genérico em V. Como V é gerado por (1,1,0) e (1,0,-1), qualquer vetor em V pode ser escrito como:
v = a(1,1,0) + b(1,0,-1) = (a + b, a, -b)
onde a e b são escalares reais.

Passo 4

Agora, esse vetor v = (a + b, a, -b) também deve pertencer a W. Pelo enunciado de W, temos que x - y = 0. Aplicando isso ao nosso vetor:
(a + b) - a = b = 0
Portanto, para que v esteja em W, precisamos que b = 0.

Passo 5

Se b = 0, substituindo de volta na expressão de v:
v = a(1,1,0) + 0(1,0,-1) = (a, a, 0)
Isso mostra que todos os vetores em V cap W têm a forma (a, a, 0), onde a é um número real.

Passo 6

Vamos agora encontrar uma base para V cap W. Observando a forma (a, a, 0), vemos que podemos fatorar a:
v = a(1, 1, 0)
Isso indica que todo vetor em V cap W é um múltiplo escalar de (1, 1, 0). Portanto, a base de V cap W é (1, 1, 0).

Passo 7

Finalmente, para determinar a dimensão de V cap W, contamos o número de vetores na base. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de V cap W é 1.

Resposta

A interseção V cap W é o conjunto de todos os vetores da forma (a, a, 0), onde a in R. A dimensão de V cap W é 1.

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