Considere os seguintes subespaços vetoriais de
:
Encontre
e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais em
:
-
é gerado pelos vetores e . -
é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação .
Nosso objetivo é encontrar a interseção desses subespaços, ou seja,
, e descobrir sua dimensão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção
. Um vetor está em
se ele pertence tanto a
quanto a
. Então, precisamos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como combinações lineares dos vetores geradores de
e que também satisfazem a equação que define
.
Passo 3
Vamos considerar um vetor genérico em
. Como
é gerado por
e
, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
onde
e
são escalares reais.
Passo 4
Agora, esse vetor
também deve pertencer a
. Pelo enunciado de
, temos que
. Aplicando isso ao nosso vetor:
Portanto, para que
esteja em
, precisamos que
.
Passo 5
Se
, substituindo de volta na expressão de
:
Isso mostra que todos os vetores em
têm a forma
, onde
é um número real.
Passo 6
Vamos agora encontrar uma base para
. Observando a forma
, vemos que podemos fatorar
:
Isso indica que todo vetor em
é um múltiplo escalar de
. Portanto, a base de
é
.
Passo 7
Finalmente, para determinar a dimensão de
, contamos o número de vetores na base. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
. A dimensão de
é 1.