Considere os seguintes vetores em R^3 :
v1=(1,1,1), v2=(1,-1,1), v3=(0,1,0) c v4=(1,0,1)
Encontre uma base e a dimensão para W=[v1, v2, v3, v4].

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma base e a dimensão do espaço W gerado pelos vetores v1, v2, v3 e v4 em R^3. Basicamente, vamos descobrir quais desses vetores são essenciais para construir todo o espaço W sem redundâncias. Para isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear, espaço gerado e como identificar uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores que nos foram dados:
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, -1, 1), v3 = (0, 1, 0), v4 = (1, 0, 1)
Nosso objetivo é verificar quais desses vetores são linearmente independentes. Se um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele é dependente e não precisa fazer parte da base.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas para facilitar a análise:
A = 1 & 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1
Agora, vamos aplicar eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver quantas colunas pivotantes (ou seja, independentes) temos. Isso nos ajudará a determinar a base e a dimensão de W.

Passo 4

Primeiro, subtraímos a primeira coluna da segunda e da quarta para simplificar:
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 & 0
Percebemos que a terceira coluna já está simples, então vamos focar nas outras.

Passo 5

Agora, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar os 1’s abaixo do primeiro pivô:
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0
Aqui, vemos que apenas duas linhas possuem pivôs (os -2 e o 1), o que indica que temos duas vetores linearmente independentes.

Passo 6

Portanto, podemos escolher v1 e v2 como nossa base, já que eles são os vetores que geram W sem redundância. O vetor v3 e v4 podem ser expressos como combinações lineares desses dois.

Resposta

Uma base para W é formada pelos vetores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, -1, 1). A dimensão de W é 2.

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