Então, vamos lá! Você tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma base e a dimensão do espaço gerado pelos vetores , , e em . Basicamente, vamos descobrir quais desses vetores são essenciais para construir todo o espaço sem redundâncias. Para isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear, espaço gerado e como identificar uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores que nos foram dados:
Nosso objetivo é verificar quais desses vetores são linearmente independentes. Se um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele é dependente e não precisa fazer parte da base.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas para facilitar a análise:
Agora, vamos aplicar eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver quantas colunas pivotantes (ou seja, independentes) temos. Isso nos ajudará a determinar a base e a dimensão de W.
Passo 4
Primeiro, subtraímos a primeira coluna da segunda e da quarta para simplificar:
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 & 0
Percebemos que a terceira coluna já está simples, então vamos focar nas outras.
Passo 5
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar os 1’s abaixo do primeiro pivô:
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0
Aqui, vemos que apenas duas linhas possuem pivôs (os -2 e o 1), o que indica que temos duas vetores linearmente independentes.
Passo 6
Portanto, podemos escolher v1 e v2 como nossa base, já que eles são os vetores que geram W sem redundância. O vetor v3 e v4 podem ser expressos como combinações lineares desses dois.
Resposta
Uma base para W é formada pelos vetores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (1, -1, 1). A dimensão de W é 2.