26- Um sistema massa-mola é colocado para oscilar afastando-se o corpo da posição de equilíbrio de uma quantidade igual a A e liberando-o a partir do repouso. Após 2 minutos observa-se que a amplitude foi reduzida a um quarto do valor inicial.
a) Qual é o fator de amortecimento?
b) Qual é a razão entre a energia média nesse instante e a energia inicial do oscilador?
c) Explique quais foram suas hipóteses sobre o tipo de movimento executado pelo oscilador para resolver o problema.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso, liberado de x(0)=A a partir do repouso. Após t=2 minutos a amplitude caiu para A/4. Para resolver, precisamos usar a solução de um movimento subamortecido, em que a amplitude decai exponencialmente segundo
A(t)=A,e^-de<a t,
onde de<a é o coeficiente de amortecimento l(de<a=c/(2m)r).

Passo 2

Queremos achar de<a tal que
A(t)A=e^-de<a t=14
em t=2 minutos. Tomando logaritmo,
-de<a,(2)=ln!l(tfrac14r)=-ln4
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de<a=ln42= ln2por minuto
Em unidades de segundos, como 2 minutos =120,s, teríamos
de<a=ln4120approx0,01155;s^-1

Passo 3

A energia média de um oscilador amortecido é proporcional ao quadrado da amplitude. Logo, a razão entre a energia em t e a energia inicial é
E(t)E(0)=l(A(t)Ar)^2=l(tfrac14r)^2=116

Passo 4

Para resolver o problema, assumi que o amortecimento é viscoso (força proporcional à velocidade) e suficientemente pequeno para que o movimento seja subamortecido. Assim, a solução é um cosseno modulada por decaimento exponencial x(t)=A,e^-de<a tcos(omegad t), permitindo usar o decaimento de amplitude acima.

Resposta

a) de<a=ln2 por minuto (ou de<aapprox0,01155,s ^-1).
b) E(t)E(0)=116
c) Assumi amortecimento viscoso linear e regime subamortecido, com solução x(t)=A,e^-de<a tcos(omegad t).

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