26- Um sistema massa-mola é colocado para oscilar afastando-se o corpo da posição de equilíbrio de uma quantidade igual a
e liberando-o a partir do repouso. Após 2 minutos observa-se que a amplitude foi reduzida a um quarto do valor inicial.
a) Qual é o fator de amortecimento?
b) Qual é a razão entre a energia média nesse instante e a energia inicial do oscilador?
c) Explique quais foram suas hipóteses sobre o tipo de movimento executado pelo oscilador para resolver o problema.
a) Qual é o fator de amortecimento?
b) Qual é a razão entre a energia média nesse instante e a energia inicial do oscilador?
c) Explique quais foram suas hipóteses sobre o tipo de movimento executado pelo oscilador para resolver o problema.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso, liberado de
a partir do repouso. Após
minutos a amplitude caiu para
. Para resolver, precisamos usar a solução de um movimento subamortecido, em que a amplitude decai exponencialmente segundo
onde
é o coeficiente de amortecimento
.
Passo 2
Queremos achar
tal que
em
minutos. Tomando logaritmo,
logo
Em unidades de segundos, como
minutos
,s, teríamos
Passo 3
A energia média de um oscilador amortecido é proporcional ao quadrado da amplitude. Logo, a razão entre a energia em
e a energia inicial é
Passo 4
Para resolver o problema, assumi que o amortecimento é viscoso (força proporcional à velocidade) e suficientemente pequeno para que o movimento seja subamortecido. Assim, a solução é um cosseno modulada por decaimento exponencial
, permitindo usar o decaimento de amplitude acima.
Resposta
a)
por minuto (ou
,s
).
b)
c) Assumi amortecimento viscoso linear e regime subamortecido, com solução .
b)
c) Assumi amortecimento viscoso linear e regime subamortecido, com solução