27- Um oscilador massa-mola com amortecimento fraco, está ligado a um motor e no regime estacionário oscila com a frequência omega=raiz k / m, onde k é a constante da mola e m é a massa do corpo ligado a mola. Nessas condições a amplitude de oscilação é igual a A. Quais serão os novos valores da amplitude de oscilação no regime estacionário, se o fator de amortecimento for;
a) reduzido à metade do valor inicial;
b) duplicado.
c) Se a mola for substituída por outra de constante elástica k^prime=4 k, mantendo-se a frequência angular do motor, o queacontece com a amplitude de oscilação?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um oscilador massa–mola com amortecimento fraco (coeficiente de amortecimento beta), forçado por um motor que aplica uma força F0sin(omega t). No regime estacionário a frequência de excitação é
omega=raiztfrackm=omega0
e a amplitude de oscilação observada vale A.
Conteúdo aplicado: teoria de oscilações forçadas amortecidas, em especial a expressão da amplitude no regime estacionário
A(omega) =F0/mraizl(omega0^2-omega^2r)^2+(2,beta,omega)^2,

Passo 2

Amplitude na ressonância ( omega=omega0):
A =F0/m2,beta,omega0 Longrightarrow F0m=2,beta,omega0,A,

Passo 3

(a) Se o coeficiente de amortecimento for reduzido à metade, beta'!=tfracbeta2, então na ressonância
Aa =F0/m2,beta',omega0 =F0/m2,(beta/2),omega0 =2,F0/m2,beta,omega0 =2,A,
Logo a amplitude dobra.

Passo 4

(b) Se o amortecimento for duplicado, beta'!=2,beta, então
Ab =F0/m2,(2beta),omega0 =tfrac12,F0/m2,beta,omega0 =tfrac12,A,
Logo a amplitude cai à metade.

Passo 5

(c) Se k é substituída por k'=4,k, a nova frequência natural é
omega0'=raiztfrack'm=2,omega0,
mas o motor continua forçando em omega=omega0. Então
Ac =F0/m raizl(omega0'^2-omega^2r)^2+(2,beta,omega)^2 =F0/m raiz(4omega0^2-omega0^2)^2+(2betaomega0)^2 =F0/mraiz9,omega0^4+(2beta,omega0)^2,
Substituindo F0/m=2beta,omega0,A e supondo amortecimento fraco ( betallomega0), o termo (2beta,omega0)^2 é desprezível diante de 9,omega0^4, daí
Acapprox2,beta,omega0,A3,omega0^2 =2,beta3,omega0,A ll A
Ou seja, a amplitude cai drasticamente (da ordem de tfrac2beta3omega0A, muito menor que A quando betallomega0).

Resposta

(a) Aa=2A
(b) Ab=tfrac12,A
(c) A amplitude passa a valer
Ac approx2,beta3,omega0,A,
ou seja, muito menor que A (queda drástica).

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