26- O termo independente e da equação x^2-3 x+c=0 é escolhido aleatoriamente entre os elementos de -1,0,1,2,3. Qual é a probabilidade de essa equação vir a ter raízes reais?
a) 30 %
b) 40 %
c) 50 %
d) 60 %
e) 80 %

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática x^2-3x+c=0 cujo termo independente c é escolhido aleatoriamente no conjunto -1,0,1,2,3. O objetivo é achar a probabilidade de essa equação ter raízes reais. Para isso, vamos usar a condição de existência de raízes reais em função do discriminante.

Passo 2

Para uma equação ax^2+bx+c=0, as raízes são reais se e somente se o discriminante De<a=b^2-4ac satisfizer
De<a >= 0
No nosso caso a=1, b=-3 e c=c, logo
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot c = 9 - 4c
A condição De<a >= 0 fica
9 - 4c >= 0 Longrightarrow c <= tfrac94

Passo 3

O conjunto de valores possíveis é -1,0,1,2,3. Vamos ver quais satisfazem c <= tfrac94=2,25:
-1 <= 2,25, 0 <= 2,25, 1 <= 2,25, 2 <= 2,25, 3 > 2,25
Portanto, são favoráveis os valores cin-1,0,1,2, totalizando 4 casos.

Passo 4

Como há 5 valores em -1,0,1,2,3 e 4 deles geram discriminante não negativo, a probabilidade pedida é
45 = 0,8 = 80%

Resposta

e) 80%

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