27- Seja a equação 2 x^2-4 x+c=0. Se o coeficiente c é escolhido ao acaso entre os elementos do conjunto 1,2,3, ldots, 10, qual é a probabilidade de a equação vir a ter raízes reais?
a) 10 %
b) 20 %
c) 30 %
d) 40 %
e) 50 %

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
2x^2-4x+c=0
com o coeficiente c escolhido uniformemente em 1,2,3,dots,10, e pede a probabilidade de a equação ter raízes reais. Para isso, vamos usar o critério de existência de raízes reais via discriminante.

Passo 2

O discriminante de uma equação ax^2+bx+c=0 é
De<a = b^2 - 4ac
No nosso caso a=2, b=-4 e c=c, logo
De<a = (-4)^2 - 4cdot2cdot c = 16 - 8c
Para existirem raízes reais precisamos de
De<a >= 0

Passo 3

Impondo 16 - 8c >= 0 obtemos
16 >= 8c Longrightarrow c <= 2
Entre os valores possíveis de c em 1,2,3,dots,10, apenas c=1 e c=2 satisfazem essa condição. São 2 casos favoráveis.

Passo 4

O espaço amostral tem 10 valores possíveis de c e há 2 casos favoráveis. Portanto a probabilidade é
210 = 0,2 = 20%

Resposta

b) 20%

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