26{ }^{\text {a }} Um possível meio de vôo espacial é colocar uma placa aluminizada perfeitamente refletora em órbita ao redor da Terra e então usar a luz do Sol para empurrar essa “vela solar”. Suponha que uma vela de área de 6,00 \times 10^{5} \mathrm{~m}^{2} e massa de 6000 kg seja colocada em órbita voltada para o Sol. (a) Qual força é exercida sobre a vela? (b) Qual é a aceleração da vela? (c) Quanto tempo a vela leva para chegar à Lua, a 3,84 \times 10^{8} \mathrm{~m} de distância? Despreze todos os efeitos gravitacionais, suponha que a aceleração calculada no item (b) permanece constante e suponha uma intensidade solar de 1340 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
  • Área da vela: A=6{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Massa da vela: m=6000\\ \mathrm{kg}.
  • Intensidade solar recebida: I=1340\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Distância até a Lua: d=3{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Suposições: a vela é perfeitamente refletora e está voltada perpendicularmente ao Sol, desprezam-se efeitos gravitacionais e a aceleração é constante.
O enunciado pede:
(a) a força exercida pela luz na vela;
(b) a aceleração resultante da vela;
(c) o tempo que a vela demora para percorrer d sob a aceleração constante encontrada.
Além disso, vou usar como constante a velocidade da luz
c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender a pressão de radiação e sua relação com a intensidade I.
  • Cada fóton tem energia E e momento (momentum) p_{\text{fóton}}=E/có. Assim, energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área é a intensidade I (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=\mathrm{J}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2})).
  • A razão entre energia e momento para radiação é E/p=c, então a taxa de momento que atravessa uma unidade de área por segundo (momentum flux) é I/c.
  • Se a superfície absorve totalmente a luz, a pressão (força por unidade de área) é igual ao momentum flux:
p_{\text{absorção}}=\frac{I}{c}.çã
  • No caso de reflexão perfeita normal à superfície, a luz que chega com momentum p é revertida para -p, a mudança de momentum por fóton é 2p. Portanto a pressão dobra:
p_{\text{reflexão}}=\frac{2I}{c}.ã
Conclusão útil para o cálculo: a força total sobre a vela é a pressão vezes a área,
F=p_{\text{reflexão}}\cdot A=\frac{2I}{c}\,A.ã

Passo 3

Calcular a força numérica usando \;F=\dfrac{2I}{c}A.
Escrevendo a fórmula:
F=\frac{2I A}{c}.
Substituindo os valores (tudo em SI):
F=\frac{2\cdot 1340\\ \mathrm{W/m^{2}}\cdot 6{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m^{2}}}{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
Faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 2\cdot 1340\cdot 6{,}00\times10^{5} = 2680\cdot 6{,}00\times10^{5} = 1{,}608{,}0\times10^{9}.
  • Dividindo: F=\dfrac{1{,}608{,}0\times10^{9}}{3{,}00\times10^{8}}=5{,}36\\ \mathrm{N}.
Portanto a força sobre a vela é \;F=5{,}36\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a aceleração usando a segunda lei de Newton F=ma, ou seja
a=\frac{F}{m}.
Substituindo:
a=\frac{5{,}36\\ \mathrm{N}}{6000\\ \mathrm{kg}}.
Calculando:
a=8{,}93\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Então a aceleração da vela é \;a=8{,}93\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Calcular o tempo para percorrer d com aceleração constante a partir do repouso.
Usa-se a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado a partir do repouso:
d=\tfrac{1}{2}a t^{2}.
Isolando t:
t=\sqrt{\frac{2d}{a}}.
Substituindo d=3{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{m} e a=8{,}93\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}84\times10^{8}}{8{,}93\times10^{-4}}} =\sqrt{\frac{7{,}68\times10^{8}}{8{,}93\times10^{-4}}}.
Calculo numérico:
\frac{7{,}68\times10^{8}}{8{,}93\times10^{-4}} \approx 8{,}60\times10^{11},
t\approx\sqrt{8{,}60\times10^{11}}\approx 9{,}27\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter para dias (opcional, para perceber a ordem de grandeza):
9{,}27\times10^{5}\\ \mathrm{s}\div 86400\\ \mathrm{s/dia}\approx 10{,}7\\ \text{dias}.
Portanto o tempo aproximado é \;t\approx 9{,}27\times10^{5}\\ \mathrm{s} (cerca de 10{,}7 dias), assumindo aceleração constante e desprezando gravidade.

Resposta

(a) 5{,}36\\ \mathrm{N}
(b) 8{,}93\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) 9{,}27\times10^{5}\\ \mathrm{s}\\ \approx 10{,}7\\ \text{dias}

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