Um possível meio de vôo espacial é colocar uma placa aluminizada perfeitamente refletora em órbita ao redor da Terra e então usar a luz do Sol para empurrar essa “vela solar”. Suponha que uma vela de área de
e massa de 6000 kg seja colocada em órbita voltada para o Sol. (a) Qual força é exercida sobre a vela? (b) Qual é a aceleração da vela? (c) Quanto tempo a vela leva para chegar à Lua, a
de distância? Despreze todos os efeitos gravitacionais, suponha que a aceleração calculada no item (b) permanece constante e suponha uma intensidade solar de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
- Área da vela:
. - Massa da vela:
. - Intensidade solar recebida:
. - Distância até a Lua:
. - Suposições: a vela é perfeitamente refletora e está voltada perpendicularmente ao Sol, desprezam-se efeitos gravitacionais e a aceleração é constante.
O enunciado pede:
(a) a força exercida pela luz na vela;
(b) a aceleração resultante da vela;
(c) o tempo que a vela demora para percorrer sob a aceleração constante encontrada.
(a) a força exercida pela luz na vela;
(b) a aceleração resultante da vela;
(c) o tempo que a vela demora para percorrer
Além disso, vou usar como constante a velocidade da luz
Passo 2
Entender a pressão de radiação e sua relação com a intensidade
.
- Cada fóton tem energia
e momento (momentum) . Assim, energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área é a intensidade (unidade ). - A razão entre energia e momento para radiação é
, então a taxa de momento que atravessa uma unidade de área por segundo (momentum flux) é . - Se a superfície absorve totalmente a luz, a pressão (força por unidade de área) é igual ao momentum flux:
- No caso de reflexão perfeita normal à superfície, a luz que chega com momentum
é revertida para , a mudança de momentum por fóton é . Portanto a pressão dobra:
Conclusão útil para o cálculo: a força total sobre a vela é a pressão vezes a área,
Passo 3
Calcular a força numérica usando
.
Escrevendo a fórmula:
Substituindo os valores (tudo em SI):
Faço as contas passo a passo:
- Numerador:
. - Dividindo:
Portanto a força sobre a vela é
Passo 4
Calcular a aceleração usando a segunda lei de Newton
, ou seja
Substituindo:
Calculando:
Então a aceleração da vela é
Passo 5
Calcular o tempo para percorrer
com aceleração constante a partir do repouso.
Usa-se a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado a partir do repouso:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculo numérico:
Converter para dias (opcional, para perceber a ordem de grandeza):
Portanto o tempo aproximado é
(cerca de
dias), assumindo aceleração constante e desprezando gravidade.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)