26)Em uma partida de futebol,a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são,respectivamente,h e s.Desprezando o efeito do atrito do ar,a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de
em relação ao solo horizontal ,calcule a razão s/h.
Passo 1
Entendendo certinho o enunciado: foi chutada uma bola do solo que descreve uma parábola (lançamento oblíquo) sem atrito e sem rotação. O problema dá duas grandezas associadas à trajetória: a altura máxima,
, e o alcance horizontal (distância no solo entre ponto de partida e de queda),
. Também informa que o ângulo de lançamento foi
). A pergunta é: calcular a razão
. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Definindo variáveis e componentes iniciais da velocidade: seja
a velocidade inicial no momento do chute. Vamos decompor
em componentes horizontal e vertical (o jeito padrão em cinematica de projéteis):
Essas decomposições significam que a velocidade inicial no eixo horizontal é
e no eixo vertical é
. A aceleração vertical é constante e aponta para baixo, com magnitude
.
Passo 3
Encontrando a altura máxima
a partir da energia cinemática vertical (ou da equação de movimento): no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando a equação cinemática sem tempo
com
no topo,
e
, obtemos
Isolando
,
Aqui expliquei passo a passo: usamos que a altura máxima é a distância vertical que a componente vertical da velocidade percorre até zerar, aplicando a fórmula clássica
.
Passo 4
Calculando o alcance
: o alcance é a distância horizontal total percorrida até a bola voltar ao solo. Primeiro achamos o tempo total de voo. O tempo até o ponto mais alto é
(porque a velocidade vertical decresce linearmente até zero). O tempo total de voo é o dobro disso (subida + descida simétrica), logo
Como não há aceleração horizontal, a velocidade horizontal é constante
, então o alcance é
Também podemos reconhecer a identidade trigonométrica
e escrever
Passo 5
Agora formamos a razão pedida
usando as expressões que achamos para
e
. Substituindo:
Simplificando passo a passo: o fator
cancela, o
também cancela, e há um fator numérico
no numerador e
no denominador que se combinam. Vamos simplificar cuidadosamente:
Usando definição trigonométrica
, obtemos a fórmula geral
Passo 6
Aplicando o ângulo dado
. Sabemos que
Portanto
Se quiser checar com números: para
temos
. Substituindo em
e
você encontra
novamente.