26)Em uma partida de futebol,a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são,respectivamente,h e s.Desprezando o efeito do atrito do ar,a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45^{\circ} em relação ao solo horizontal ,calcule a razão s/h.

Passo 1

Entendendo certinho o enunciado: foi chutada uma bola do solo que descreve uma parábola (lançamento oblíquo) sem atrito e sem rotação. O problema dá duas grandezas associadas à trajetória: a altura máxima, h, e o alcance horizontal (distância no solo entre ponto de partida e de queda), s. Também informa que o ângulo de lançamento foi \(45^\circ). A pergunta é: calcular a razão \dfrac{s}{h}. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{ângulo de lançamento } \theta = 45^\circ,âç
\text{altura máxima } = h,á
\text{alcance horizontal } = s,
\text{desprezar resistência do ar e outras forças além da gravidade (aceleração } g\text{).}êçéçã

Passo 2

Definindo variáveis e componentes iniciais da velocidade: seja v_0 a velocidade inicial no momento do chute. Vamos decompor v_0 em componentes horizontal e vertical (o jeito padrão em cinematica de projéteis):
v_{0x} = v_0\cos\theta,
v_{0y} = v_0\sin\theta.
Essas decomposições significam que a velocidade inicial no eixo horizontal é v_0\cos\theta e no eixo vertical é v_0\sin\theta. A aceleração vertical é constante e aponta para baixo, com magnitude g.

Passo 3

Encontrando a altura máxima h a partir da energia cinemática vertical (ou da equação de movimento): no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando a equação cinemática sem tempo
v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y,
com v=0 no topo, v_0=v_{0y} e a=-g, obtemos
0 = v_{0y}^2 - 2g h.
Isolando h,
h = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Aqui expliquei passo a passo: usamos que a altura máxima é a distância vertical que a componente vertical da velocidade percorre até zerar, aplicando a fórmula clássica v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y.

Passo 4

Calculando o alcance s: o alcance é a distância horizontal total percorrida até a bola voltar ao solo. Primeiro achamos o tempo total de voo. O tempo até o ponto mais alto é t_{\text{subida}} = \dfrac{v_{0y}}{g} (porque a velocidade vertical decresce linearmente até zero). O tempo total de voo é o dobro disso (subida + descida simétrica), logo
t_{\text{total}} = \dfrac{2v_{0y}}{g} = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}.
Como não há aceleração horizontal, a velocidade horizontal é constante v_{0x}=v_0\cos\theta, então o alcance é
s = v_{0x}\,t_{\text{total}} = v_0\cos\theta\cdot \dfrac{2v_0\sin\theta}{g} = \dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
Também podemos reconhecer a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta e escrever
s = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.

Passo 5

Agora formamos a razão pedida \dfrac{s}{h} usando as expressões que achamos para s e h. Substituindo:
\dfrac{s}{h} = \dfrac{\dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}}{\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}.
Simplificando passo a passo: o fator v_0^2 cancela, o g também cancela, e há um fator numérico 2 no numerador e 1/2 no denominador que se combinam. Vamos simplificar cuidadosamente:
\dfrac{s}{h} = \dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}\cdot \dfrac{2g}{v_0^2\sin^2\theta} = 4\cdot \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Usando definição trigonométrica \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, obtemos a fórmula geral
\dfrac{s}{h} = 4\cot\theta.

Passo 6

Aplicando o ângulo dado \theta = 45^\circ. Sabemos que
\cot 45^\circ = 1.
Portanto
\dfrac{s}{h} = 4\cdot 1 = 4.
Se quiser checar com números: para \theta=45^\circ temos \sin\theta=\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Substituindo em h=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} e s=\dfrac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} você encontra s/h=4 novamente.

Resposta

\dfrac{s}{h}=4

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