Um projétil é lançado do solo com uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} numa direção que forma 37^{\circ} \mathrm{com} a vertical (despreze a resistência do ar). Quais as coordenadas da posição ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) do projétil ao fim de 3s após o lançamento? (Dado: \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 37^{\circ}=0,8 e sen 37^{\circ} =0,6 )
a) 195 \mathrm{~m} ; 195 \mathrm{~m}
b) 18 \mathrm{~m} ; 19,5 \mathrm{~m}
c) 180 \mathrm{~m} ; 240 \mathrm{~m}
d) 180 \mathrm{~m} ; 195 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas da posição (x,y) de um projétil lançado do solo após 3\\ \mathrm{s}. Informações dadas:
  • velocidade inicial \;v_0 = 100\\ \mathrm{m/s};
  • direção do lançamento forma 37^\circ com a vertical;
  • aceleração da gravidade \;g = 10\\ \mathrm{m/s}^2;
  • valores trigonométricos fornecidos: \cos 37^\circ = 0,8 e \operatorname{sen} 37^\circ = 0,6.
    Pergunta concreta: quais são as coordenadas (x,y) do projétil ao fim de \;3\\ \mathrm{s} do lançamento? (Opcões dadas para checar.)

Passo 2

Escolha de eixos e fórmulas básicas (explicando por que usamos elas):
  • Tomamos o eixo x horizontal e o eixo y vertical, com a origem no solo no ponto de lançamento.
  • Em movimento de projétil sem resistência do ar:
    • a componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal),
    • a componente vertical tem aceleração constante para baixo igual a -g.
      As fórmulas que usamos são, para um instante t:
x(t) = v_{x} \, t
y(t) = v_{y} \, t - \tfrac{1}{2} g t^{2}
Aqui v_{x} é a componente horizontal da velocidade inicial, v_{y} é a componente vertical inicial (positiva para cima), t é o tempo decorrido, e g é a aceleração da gravidade. Essas fórmulas vêm da cinemática retilínea com aceleração constante: deslocamento = velocidade inicial × tempo + (1/2) × aceleração × tempo²; para x a aceleração é zero, para y é -g.

Passo 3

Determinar as componentes da velocidade inicial a partir do ângulo dado:
  • O enunciado dá o ângulo em relação à vertical: \theta_{\text{vertical}} = 37^\circ.
  • O ângulo em relação à horizontal é \theta = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ.
    Portanto:
v_{x} = v_{0}\cos\theta = v_{0}\cos 53^\circ
v_{y} = v_{0}\operatorname{sen}\theta = v_{0}\operatorname{sen} 53^\circ
Mas observe que \cos 53^\circ = \operatorname{sen} 37^\circ e \operatorname{sen} 53^\circ = \cos 37^\circ. Usando os valores fornecidos:
v_{x} = v_{0}\cos 53^\circ = v_{0}\operatorname{sen} 37^\circ = 100 \times 0,6 = 60\\ \mathrm{m/s}
v_{y} = v_{0}\operatorname{sen} 53^\circ = v_{0}\cos 37^\circ = 100 \times 0,8 = 80\\ \mathrm{m/s}
Expliquei: trocamos seno e cosseno porque os ângulos são complementares ( 53^\circ+37^\circ=90^\circ).

Passo 4

Calcular a coordenada horizontal (x) no tempo \;t=3\\ \mathrm{s}:
Usamos x(t)=v_{x}t. Substituindo:
x(3\\ \mathrm{s}) = 60\\ \mathrm{m/s} \times 3\\ \mathrm{s} = 180\\ \mathrm{m}.
Detalhe passo a passo: como não há aceleração horizontal, o deslocamento é simplesmente velocidade horizontal vezes tempo.

Passo 5

Calcular a coordenada vertical (y) no tempo \;t=3\\ \mathrm{s}:
Usamos y(t)=v_{y}t - \tfrac{1}{2} g t^{2}. Substituindo valores:
y(3\\ \mathrm{s}) = 80\\ \mathrm{m/s} \times 3\\ \mathrm{s} - \tfrac{1}{2}\times 10\\ \mathrm{m/s}^{2}\times (3\\ \mathrm{s})^{2}.
Calcule cada termo:
80\times 3 = 240\\ \mathrm{m},
\tfrac{1}{2}\times 10 \times 9 = 5\times 9 = 45\\ \mathrm{m}.
Agora subtraindo:
y(3\\ \mathrm{s}) = 240\\ \mathrm{m} - 45\\ \mathrm{m} = 195\\ \mathrm{m}.
Interpretação: primeiro termo é subida devido à velocidade inicial vertical; segundo termo é a queda causada pela gravidade acumulada durante os 3\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Concluir as coordenadas finais juntando os resultados:
x(3\\ \mathrm{s}) = 180\\ \mathrm{m},\qquad y(3\\ \mathrm{s}) = 195\\ \mathrm{m}.
Comparando com as alternativas dadas, corresponde à alternativa (d).

Resposta

(180\\ \mathrm{m};\\\ 195\\ \mathrm{m})

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