1. Calcule \iiint_{E}\left(x^{3}+x y^{2}\right) d V, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}.
  2. Calcule \iiint_{E} y d V, onde E é o sólido que está entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1 \mathrm{e} x^{2}+y^{2}=4, acima do plano x y e abaixo do plano z=x+2.
  3. Calcule \iiint_{E} x d V, onde E está delimitado pelos planos z=0 \mathrm{e} z=x+y+5 e pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e} x^{2}+y^{2}=9.
  4. Calcule \iiint_{E} x^{2} d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais são as informações relevantes que o enunciado dá.
  1. Pede calcular \iiint_{E}\left(x^{3}+x y^{2}\right)\,dV, onde E é o sólido do primeiro octante (ou seja x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) que está abaixo do paraboloide \;z=1-x^{2}-y^{2}. Informação-chave: a superfície superior é \;z=1-x^{2}-y^{2} e a região de projeção no plano xy será o quarto de disco dado por x^{2}+y^{2}\le1 com x,y\ge0.
  2. Pede calcular \iiint_{E} y\,dV, onde E é o sólido entre os cilindros \;x^{2}+y^{2}=1 e \;x^{2}+y^{2}=4, acima do plano xy (isto é z\ge0) e abaixo do plano \;z=x+2. Informação-chave: projeção no plano xy é a coroa circular 1\le x^{2}+y^{2}\le4 (ou seja 1\le r\le2 em coordenadas polares), o teto é \;z=x+2 e o chão é \;z=0.
  3. Pede calcular \iiint_{E} x\,dV, onde E é o sólido delimitado por z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros \;x^{2}+y^{2}=4 e \;x^{2}+y^{2}=9. Informação-chave: projeção no plano xy é a coroa 2\le r\le3; teto \;z=x+y+5; chão \;z=0.
  4. Pede calcular \iiint_{E} x^{2}\,dV, onde E está dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1, acima de z=0 e abaixo do cone \;z^{2}=4x^{2}+4y^{2}. Informação-chave: como z\ge0 na descrição, o cone corresponde a z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2r; projeção é o disco 0\le r\le1.
Agora vou resolver cada integral passo a passo, explicando as técnicas (mudança para coordenadas cilíndricas/polares, Jacobiano, limites, simetrias) e mostrando cada cálculo.

Passo 2

Comentário pedagógico (ferramenta que vamos usar): para sólidos cuja projeção no plano xy é um disco ou coroa circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas/polares:
x = r\cos\theta,\qquad y= r\sin\theta,\qquad z=z,
e o elemento de volume transforma-se como
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar. Sempre que aplicar essa mudança, explicarei quais são os limites de r,\theta,z e como fica a função integranda.
Começo pelo item 18.

Passo 3

(Problema 18) Descrever a região e escolher coordenadas: E está no primeiro octante e abaixo de \;z=1-x^{2}-y^{2}. A projeção no plano xy é o quarto de disco \{(x,y): x^{2}+y^{2}\le1,\\ x\ge0,\\ y\ge0\}.
Em coordenadas polares/cilíndricas isso corresponde a
0\le r\le1,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 0\le z\le 1-r^{2}.

Passo 4

(Problema 18) Reescrever a integranda em coordenadas polares:
  • x=r\cos\theta,
  • y=r\sin\theta.
Então
x^{3}+x y^{2}=(r\cos\theta)^{3}+(r\cos\theta)(r\sin\theta)^{2} = r^{3}\cos^{3}\theta + r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta.
Agrupando fatores:
r^{3}\cos^{3}\theta + r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta = r^{3}\cos\theta\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = r^{3}\cos\theta.
Observe que usei a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.

Passo 5

(Problema 18) Montar a integral tripla em cilíndricas:
\iiint_{E}\bigl(x^{3}+x y^{2}\bigr)\,dV =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{1-r^{2}} \bigl(r^{3}\cos\theta\bigr)\, (r\,dz\,dr\,d\theta).
Multiplicando o integrando pelo Jacobiano r obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-r^{2}} r^{4}\cos\theta \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

(Problema 18) Integrar em z (é trivial porque o integrando não depende de z):
\int_{0}^{1-r^{2}} r^{4}\cos\theta \,dz = r^{4}\cos\theta \cdot(1-r^{2}).
Portanto a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta \;\times\; \int_{0}^{1} r^{4}(1-r^{2})\,dr.
Note que as integrais se separam (uma depende só de \theta e a outra só de r).

Passo 7

(Problema 18) Calcular cada integral:
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1-0=1.
  • Integral em r:
\int_{0}^{1} r^{4}(1-r^{2})\,dr = \int_{0}^{1}\bigl(r^{4}-r^{6}\bigr)\,dr =\left[\frac{r^{5}}{5}-\frac{r^{7}}{7}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}.

Passo 8

(Problema 18) Conclusão do item 18: multiplicando os resultados das integrais obtém-se
\iiint_{E}\bigl(x^{3}+x y^{2}\bigr)\,dV = 1\cdot\frac{2}{35}=\frac{2}{35}.
Agora sigo para o item 19.

Passo 9

(Problema 19) Descrever a região E: projeção no plano xy é a coroa circular 1\le x^{2}+y^{2}\le4, ou em polares 1\le r\le2, \theta variando por 0 a 2\pi. Em z temos 0\le z\le x+2, isto é 0\le z\le r\cos\theta+2. Notar que para 1\le r\le2 e qualquer \theta, tem-se r\cos\theta+2\ge -r+2\ge -2+2=0, então o limite superior é sempre \ge0 e a descrição é válida para todo \theta\in[0,2\pi].

Passo 10

(Problema 19) Reescrever a integranda em coordenadas polares: y=r\sin\theta. O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Assim o integrando multiplicado pelo Jacobiano fica:
y\,dV = (r\sin\theta)\cdot (r\,dz\,dr\,d\theta) = r^{2}\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Montando a integral tripla:
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\int_{z=0}^{r\cos\theta+2} r^{2}\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 11

(Problema 19) Integrar em z:
\int_{0}^{r\cos\theta+2} r^{2}\sin\theta\,dz = r^{2}\sin\theta\cdot\bigl(r\cos\theta+2\bigr) = r^{3}\sin\theta\cos\theta + 2r^{2}\sin\theta.
Logo a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} \bigl(r^{3}\sin\theta\cos\theta + 2r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 12

(Problema 19) Usar simetria (explicação didática): ao integrar em \theta no intervalo completo 0 a 2\pi,
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 0, porque \sin(2\theta) tem média zero no período inteiro.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0, porque \sin\theta também tem média zero no período inteiro.
Portanto para qualquer função f(r) (dependente só de r),
\int_{0}^{2\pi} f(r)\sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi} f(r)\sin\theta\,d\theta = 0.

Passo 13

(Problema 19) Aplicando isso ao integrando temos que a integral inteira se anula:
\iiint_{E} y\,dV = 0.
Interpretação intuitiva: a região é simétrica em torno do eixo x e a função y muda de sinal com \theta, de forma que as contribuições positivas cancelam as negativas ao longo do círculo completo.
Agora vou ao item 20.

Passo 14

(Problema 20) Descrever a região: projeção no plano xy é a coroa circular 4\le x^{2}+y^{2}\le9, ou em polares 2\le r\le3, \theta\in[0,2\pi]. O chão é z=0 e o teto é z=x+y+5 = r(\cos\theta+\sin\theta)+5. Como r\ge2 e o termo 5 é positivo, o teto é sempre >0 para todo \theta e portanto 0\le z\le r(\cos\theta+\sin\theta)+5.

Passo 15

(Problema 20) Reescrever integranda e dV em cilíndricas: x=r\cos\theta, dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Assim
x\,dV = (r\cos\theta)\cdot (r\,dz\,dr\,d\theta) = r^{2}\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Montando a integral:
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\int_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5} r^{2}\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 16

(Problema 20) Integrar em z:
\int_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5} r^{2}\cos\theta\,dz = r^{2}\cos\theta\cdot\bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr).
Explicando: multiplica-se r^{2}\cos\theta pelo comprimento do intervalo em z.
Então a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3} \bigl(r^{3}\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta) + 5r^{2}\cos\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 17

(Problema 20) Separar termos e usar simetria:
Escrevendo as partes que dependem de \theta:
r^{3}\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta) = r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta + \cos\theta\sin\theta\bigr).
Ao integrar em \theta de 0 a 2\pi:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi (porque \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2} e a média de \cos(2\theta) em um período é zero).
Também
\int_{0}^{2\pi} 5r^{2}\cos\theta\,d\theta = 5r^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0.

Passo 18

(Problema 20) Portanto a integral reduz-se a:
\int_{2}^{3} r^{3}\,dr \cdot \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \left[\int_{2}^{3} r^{3}\,dr\right]\cdot \pi.
Calcular a integral em r:
\int_{2}^{3} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{2}^{3} = \frac{3^{4}-2^{4}}{4}=\frac{81-16}{4}=\frac{65}{4}.
Multiplicando por \pi obtemos
\iiint_{E} x\,dV = \frac{65}{4}\pi.
Agora vai o item 21.

Passo 19

(Problema 21) Descrever a região: E está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima de z=0 e abaixo do cone z^{2}=4x^{2}+4y^{2}. Como estamos acima de z=0, tomamos a parte positiva do cone:
z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2r.
A projeção no plano xy é o disco 0\le r\le1, \theta\in[0,2\pi], e para cada (r,\theta) temos 0\le z\le 2r.

Passo 20

(Problema 21) Reescrever a integranda em cilíndricas: x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta, e dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Assim o integrando com Jacobiano é
x^{2}\,dV = r^{2}\cos^{2}\theta \cdot (r\,dz\,dr\,d\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\,dz\,dr\,d\theta.
Montando a integral:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2r} r^{3}\cos^{2}\theta\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 21

(Problema 21) Integrar em z:
\int_{0}^{2r} r^{3}\cos^{2}\theta\,dz = r^{3}\cos^{2}\theta\cdot(2r) = 2r^{4}\cos^{2}\theta.
Portanto a integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2r^{4}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 22

(Problema 21) Separar integrais e calcular:
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
  • Integral em r:
\int_{0}^{1} 2r^{4}\,dr = 2\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
Multiplicando:
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\pi}{5}.

Resposta

18.\\ \dfrac{2}{35}
19.\\\ 0
20.\\ \dfrac{65\pi}{4}
21.\\ \dfrac{2\pi}{5}

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