- Calcule
, onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
- Calcule
, onde
é o sólido que está entre os cilindros
, acima do plano
e abaixo do plano
.
- Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
e pelos cilindros
.
- Calcule
, onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais são as informações relevantes que o enunciado dá.
-
Pede calcular
, onde é o sólido do primeiro octante (ou seja ) que está abaixo do paraboloide . Informação-chave: a superfície superior é e a região de projeção no plano será o quarto de disco dado por com . -
Pede calcular
, onde é o sólido entre os cilindros e , acima do plano (isto é ) e abaixo do plano . Informação-chave: projeção no plano é a coroa circular (ou seja em coordenadas polares), o teto é e o chão é . -
Pede calcular
, onde é o sólido delimitado por e e pelos cilindros e . Informação-chave: projeção no plano é a coroa ; teto ; chão . -
Pede calcular
, onde está dentro do cilindro , acima de e abaixo do cone . Informação-chave: como na descrição, o cone corresponde a ; projeção é o disco .
Agora vou resolver cada integral passo a passo, explicando as técnicas (mudança para coordenadas cilíndricas/polares, Jacobiano, limites, simetrias) e mostrando cada cálculo.
Passo 2
Comentário pedagógico (ferramenta que vamos usar): para sólidos cuja projeção no plano
é um disco ou coroa circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas/polares:
e o elemento de volume transforma-se como
Aqui
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar. Sempre que aplicar essa mudança, explicarei quais são os limites de
e como fica a função integranda.
Começo pelo item 18.
Passo 3
(Problema 18) Descrever a região e escolher coordenadas:
está no primeiro octante e abaixo de
. A projeção no plano
é o quarto de disco
.
Em coordenadas polares/cilíndricas isso corresponde a
Passo 4
(Problema 18) Reescrever a integranda em coordenadas polares:
-
, -
.
Então
Agrupando fatores:
Observe que usei a identidade trigonométrica
.
Passo 5
(Problema 18) Montar a integral tripla em cilíndricas:
Multiplicando o integrando pelo Jacobiano
obtemos
Passo 6
(Problema 18) Integrar em
(é trivial porque o integrando não depende de
):
Portanto a integral passa a ser
Note que as integrais se separam (uma depende só de
e a outra só de
).
Passo 7
(Problema 18) Calcular cada integral:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 8
(Problema 18) Conclusão do item 18: multiplicando os resultados das integrais obtém-se
Agora sigo para o item 19.
Passo 9
(Problema 19) Descrever a região
: projeção no plano
é a coroa circular
, ou em polares
,
variando por
a
. Em
temos
, isto é
. Notar que para
e qualquer
, tem-se
, então o limite superior é sempre
e a descrição é válida para todo
.
Passo 10
(Problema 19) Reescrever a integranda em coordenadas polares:
. O elemento de volume é
. Assim o integrando multiplicado pelo Jacobiano fica:
Montando a integral tripla:
Passo 11
(Problema 19) Integrar em
:
Logo a integral fica
Passo 12
(Problema 19) Usar simetria (explicação didática): ao integrar em
no intervalo completo
a
,
-
, porque tem média zero no período inteiro. -
, porque também tem média zero no período inteiro.
Portanto para qualquer função
(dependente só de
),
Passo 13
(Problema 19) Aplicando isso ao integrando temos que a integral inteira se anula:
Interpretação intuitiva: a região é simétrica em torno do eixo
e a função
muda de sinal com
, de forma que as contribuições positivas cancelam as negativas ao longo do círculo completo.
Agora vou ao item 20.
Passo 14
(Problema 20) Descrever a região: projeção no plano
é a coroa circular
, ou em polares
,
. O chão é
e o teto é
. Como
e o termo
é positivo, o teto é sempre
para todo
e portanto
.
Passo 15
(Problema 20) Reescrever integranda e dV em cilíndricas:
,
. Assim
Montando a integral:
Passo 16
(Problema 20) Integrar em
:
Explicando: multiplica-se
pelo comprimento do intervalo em
.
Então a integral fica
Passo 17
(Problema 20) Separar termos e usar simetria:
Escrevendo as partes que dependem de
:
Ao integrar em
de
a
:
-
. -
(porque e a média de em um período é zero).
Também
Passo 18
(Problema 20) Portanto a integral reduz-se a:
Calcular a integral em
:
Multiplicando por
obtemos
Agora vai o item 21.
Passo 19
(Problema 21) Descrever a região:
está dentro do cilindro
, acima de
e abaixo do cone
. Como estamos acima de
, tomamos a parte positiva do cone:
A projeção no plano
é o disco
,
, e para cada
temos
.
Passo 20
(Problema 21) Reescrever a integranda em cilíndricas:
, e
. Assim o integrando com Jacobiano é
Montando a integral:
Passo 21
(Problema 21) Integrar em
:
Portanto a integral passa a ser
Passo 22
(Problema 21) Separar integrais e calcular:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando: