1. \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{9-r^{2}} r d z d r d \theta
17-26 Utilize coordenadas cilíndricas.
17. Calcule \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-5 e z=4.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • Item 16: calcular
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{9-r^{2}} r\, dz\, dr\, d\theta.
Informações dadas: os limites já estão em termos de \theta, r e z; o integrando é r e o limite superior de z depende de r.
  • Item 17: Calcular \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV, onde E é a região dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-5 e z=4.
    Informações dadas: a região é um cilindro de raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16) e altura entre z=-5 e z=4; o integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas (útil em ambos os problemas).
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis \,r,\theta,z com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • A distância radial ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r.
  • O elemento de volume diferencial vale
dV = r\, dz\, dr\, d\theta.
Aqui o fator extra r é o jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque em coordenadas polares/ cilindricas as “faixas” ao redor do eixo têm comprimento proporcional a r). Sempre que converter uma integral tripla para cilindricas, multiplicar pelo r é obrigatório.
Exemplo curto para fixar: se integrando fosse 1 sobre um cilindro de raio a e altura h, o volume seria
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{h} r\, dz\, dr\, d\theta = (2\pi)\left(\frac{a^{2}}{2}\right)h = \pi a^{2} h,
o que é a fórmula conhecida do volume do cilindro — ótimo cheque de consistência.

Passo 3

Resolução detalhada do Item 16 (passo a passo, com contas explicadas).
O integral é já escrito em coordenadas cilíndricas:
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{9-r^{2}} r\, dz\, dr\, d\theta.
  1. Calcular a integral interna em z. Como o integrando é r (constante em relação a z),
\int_{0}^{9-r^{2}} r\, dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{9-r^{2}} = r(9-r^{2}).
Explanação: integrar uma constante r em relação a z multiplica pela largura do intervalo em z, que é 9-r^{2}.
  1. Agora temos a integral em r e \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r(9-r^{2})\, dr\, d\theta.
Expandir o integrando para facilitar:
r(9-r^{2}) = 9r - r^{3}.
  1. Integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (9r - r^{3})\, dr = \left[\frac{9}{2}r^{2} - \frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2}.
Calcule os termos em r=2:
\frac{9}{2}\cdot 2^{2} - \frac{1}{4}\cdot 2^{4} = \frac{9}{2}\cdot 4 - \frac{1}{4}\cdot 16 = 18 - 4 = 14.
Portanto a integral em r vale 14.
  1. Por fim integramos em \theta de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2} 14\, d\theta = 14\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 14\cdot\frac{\pi}{2} = 7\pi.

Passo 4

Resolução detalhada do Item 17 (usar coordenadas cilíndricas e explicar cada escolha de limite).
A região E é o cilindro de raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16) e z entre -5 e 4. Em coordenadas cilíndricas isso se traduz em:
0\le r\le 4,\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad -5\le z\le 4.
O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} torna-se r. O elemento de volume é dV = r\, dz\, dr\, d\theta. Portanto o integrando combinado fica r\cdot r = r^{2} e a integral é
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{-5}^{4} r^{2}\, dz\, dr\, d\theta.
  1. Integramos primeiro em z. O integrando r^{2} é constante em relação a z, logo
\int_{-5}^{4} r^{2}\, dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{-5}^{4} = r^{2}(4-(-5)) = r^{2}\cdot 9 = 9r^{2}.
Explicação: a altura do cilindro é 4-(-5)=9, então a integração em z simplesmente multiplica por 9.
  1. Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 9r^{2}\, dr\, d\theta.
Integramos em r:
\int_{0}^{4} 9r^{2}\, dr = 9\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = 9\cdot\frac{64}{3} = 3\cdot 64 = 192.
Detalhe: \frac{4^{3}}{3}=\frac{64}{3}, multiplicando por 9 192.
  1. Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 192\, d\theta = 192\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = 192\cdot 2\pi = 384\pi.

Passo 5

Resumo numérico final dos resultados calculados (sem derivação aqui, apenas os valores finais).
  • Item 16: 7\pi.
  • Item 17: 384\pi.

Resposta

  1. 7\pi
  2. 384\pi

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