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17-26 Utilize coordenadas cilíndricas.
17. Calcule
, onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
17. Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado pede e quais são as informações dadas.
- Item 16: calcular
Informações dadas: os limites já estão em termos de
,
e
; o integrando é
e o limite superior de
depende de
.
- Item 17: Calcular
, onde é a região dentro do cilindro e entre os planos e .
Informações dadas: a região é um cilindro de raio(pois ) e altura entre e ; o integrando é .
Passo 2
Breve lembrete didático sobre coordenadas cilíndricas (útil em ambos os problemas).
- Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis
com as relações
- A distância radial ao eixo
é . - O elemento de volume diferencial vale
Aqui o fator extra
é o jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque em coordenadas polares/ cilindricas as “faixas” ao redor do eixo têm comprimento proporcional a
). Sempre que converter uma integral tripla para cilindricas, multiplicar pelo
é obrigatório.
Exemplo curto para fixar: se integrando fosse
sobre um cilindro de raio
e altura
, o volume seria
o que é a fórmula conhecida do volume do cilindro — ótimo cheque de consistência.
Passo 3
Resolução detalhada do Item 16 (passo a passo, com contas explicadas).
O integral é já escrito em coordenadas cilíndricas:
O integral é já escrito em coordenadas cilíndricas:
- Calcular a integral interna em
. Como o integrando é (constante em relação a ),
Explanação: integrar uma constante
em relação a
multiplica pela largura do intervalo em
, que é
.
- Agora temos a integral em
e :
Expandir o integrando para facilitar:
- Integramos em
de a :
Calcule os termos em
:
Portanto a integral em
vale
.
- Por fim integramos em
de a :
Passo 4
Resolução detalhada do Item 17 (usar coordenadas cilíndricas e explicar cada escolha de limite).
A região é o cilindro de raio
(pois
) e
entre
e
. Em coordenadas cilíndricas isso se traduz em:
A região
O integrando
torna-se
. O elemento de volume é
. Portanto o integrando combinado fica
e a integral é
- Integramos primeiro em
. O integrando é constante em relação a , logo
Explicação: a altura do cilindro é
, então a integração em
simplesmente multiplica por
.
- Agora a integral reduz-se a
Integramos em
:
Detalhe:
, multiplicando por
dá
.
- Finalmente integramos em
:
Passo 5
Resumo numérico final dos resultados calculados (sem derivação aqui, apenas os valores finais).
- Item 16:
. - Item 17:
.