[27] Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
lx=2 cos t y=2 sen t

Passo 1

Estamos lidando com a curva parametrizada por
x=2\cos t e y=2\sin t para 0\le t\le 2\pi. O tema aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas e vamos usar a fórmula padrão de integral de comprimento.

Passo 2

A fórmula para o comprimento L de uma curva paramétrica l(x(t),y(t)r) de t=a até t=b é
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Calculamos as derivadas:
x'(t)=-2sin t, y'(t)=2cos t
Então o integrando fica:
raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2=raiz4sin^2t+4cos^2t=raiz4(sin^2t+cos^2t)=2

Passo 4

Como o integrando é constante igual a 2, a integral de 0 a 2\pi é imediata:
L=integral0^2pi2,dt=2l[ t r]0^2pi=2(2pi-0)=4pi

Resposta

4\pi

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