Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi / 4 sec theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/4 sectheta,dtheta. O tema é integração de funções trigonométricas e vamos precisar conhecer a antiderivada de sectheta.

Passo 2

Sabendo que uma primitiva de sectheta é dada por:
integral sectheta , dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C,
vamos usar essa fórmula.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos lnlvertsectheta + tanthetarvert nos limites theta = pi/4 e theta = 0.

Passo 4

Em theta = pi/4 temos sec(pi/4) = raiz2 e tan(pi/4) = 1, logo sec + tan = raiz2 + 1. Em theta = 0 temos sec 0 = 1 e tan 0 = 0, logo sec + tan = 1. Subtraindo os logs: ln(raiz2+1) - ln(1) = ln(raiz2+1).

Resposta

ln(raiz2+1)

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