Questão 2.(2.7pt) Abaixo: marque (V) se a afirmação é verdadeira; (F) se é falsa; e (O) para omitir parecer. Cada alternativa correta: conta 0.45 pt ; cada errada: desconta 0.15 pt .
(V) (F) (O)
(a) lim x 2^+ x^2+x-6x^2-4 x+4=lim x 2^+ (x-3)(x-2)(x-2)^2=lim x 2^+ x-3x-2=-infty
(V) (F) (O)
(b) lim x -infty 16raizx^2+16-x=0 lim x 0 x cossec(2 x)=lim x 0 xsen(2 x)=lim x 0 12 cos (2 x)=12
(V) (F) (O)
© f(x)=x ln (x)-2 x
(V) (F) (O) (d) a função x=e possui ponto de mínimo local em ell.
(V) (F) (O) (e) Estimando uma altitude. Sabemos que 200 m / s diminui a uma taxa de h e que rad / s é constante. Se no momento em que o ângulo mede 30 graus ele aumenta a uma taxa de 0.1 h=1500 m, então podemos afirmar que A.
(V) (F) (O) (f) Se pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo começa a espalhar-se em forma de um círculo cuja área 6 Km^2 / h cresce a uma taxa constante de 4raizpi Km, então, depois de 4 horas, o diâmetro da mancha é de 3raizpi Km / h e cresce a uma taxa de .

Passo 1

A questão pede verificar a veracidade de seis afirmações envolvendo limites, derivadas, testes de extremos e taxas relacionadas.

Passo 2

Afirmação (a): Avaliamos limxto2^+x^2+x-6x^2-4x+4. Fatorando o numerador em (x+3)(x-2) e o denominador em (x-2)^2, a expressão vira x+3x-2. Para xto2^+, o denominador é um positivo muito pequeno e o numerador tende a 5, logo o limite é +infty, não -infty. Afirmação falsa.

Passo 3

Afirmação (b): Calculamos limxto-infty(raizx^2+16+x) racionalizando pelo conjugado. Obtemos 16raizx^2+16-x. Para xto-infty, raizx^2+16sim -x, então o denominador cresce em módulo e o limite é 0. Afirmação verdadeira.

Passo 4

Afirmação ©: Analisamos limxto0xcsc(2x)=limxto0xsin(2x). Usando sin(2x)sim2x ou L’Hôpital, obtemos 1/2. Afirmação verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): Para f(x)=xln x-2x, temos f'(x)=ln x-1, que zera em x=e. A segunda derivada f''(x)=1/x em x=e é positiva, caracterizando um mínimo local. Afirmação verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): Na relação tantheta=h/ell com h constante e ell variando, diferenciamos e obtemos sec^2theta,dottheta=-h,dotell/ell^2. Com dotell=-200 m/s, dottheta=0.1 rad/s em theta=30^circ, encontra-se h=500 m, não 1500 m. Afirmação falsa.

Passo 7

Afirmação (f): Se A=pi r^2 cresce a dot A=6 km ^2/h, após 4 h temos A=24 km ^2 e r=raiz24/pi. O diâmetro é 2r=4raiz6/pi, não 4/raizpi, e a taxa de dD/dt também não bate com 3/raizpi. Afirmação falsa.

Resposta

(a) F, (b) V, © V, (d) V, (e) F, (f) F

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