Sobre a função f(x)=2 xx-1 restrita ao intervalo (1,+infty), podemos concluir que:
a) f muda de concavidade.
b) f é crescente e côncava para baixo.
c) f é crescente e côncava para cima.
d) f é decrescente e côncava para baixo.
e) f é decrescente e côncava para cima.

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a monotonicidade (cresce ou decresce) e a concavidade (côncava pra cima ou pra baixo) da função f(x)=2xx-1 no intervalo (1,+infty). Pra isso a gente vai usar a derivada primeira (pra monotonicidade) e a segunda (pra concavidade).

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x)=(2)(x-1)-2xcdot1(x-1)^2=2x-2-2x(x-1)^2=-2(x-1)^2

Passo 3

Como em (1,+infty) o denominador (x-1)^2 é sempre positivo, temos f'(x)=-2(x-1)^2<0. Logo, f é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) para ver a concavidade:
f''(x)=ddxl[-2(x-1)^-2r]=-2cdot(-2)(x-1)^-3=4(x-1)^3

Passo 5

Como x>1 implica (x-1)^3>0, resulta em f''(x)>0. Então a função é côncava para cima.

Passo 6

Juntando tudo, f é decrescente e côncava para cima no intervalo (1,+infty).

Resposta

e) f é decrescente e côncava para cima.

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