Questão 1 ( 2,5 pontos) Considere uma aleta de formato retangular feita de uma liga de alumínio ( \mathrm{K}=180 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ), com comprimento \mathrm{L}=10 \mathrm{~mm}, espessura \mathrm{t}=1 \mathrm{~mm} e largura \mathrm{w}=8 \mathrm{~mm}. A temperatura na base da aleta é 400^{\circ} \mathrm{C} e ela está exposta a um fluido com temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}.
Considerando um coeficiente convectivo de transferência de calor uniforme de 100 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right) sobre toda a superfície da aleta, determine:
(b) (1,25) a taxa de transferência de calor na aleta, em W , agora a considerando muito longa.

Passo 1

O enunciado descreve uma aleta retangular de alumínio com condutividade térmica k=180\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, comprimento L=10\\ \mathrm{mm}, espessura t=1\\ \mathrm{mm} e largura w=8\\ \mathrm{mm}. A base da aleta está a T_b=400\,^\circ\mathrm{C} e o fluido ambiente a T_\infty=25\,^\circ\mathrm{C}, com coeficiente convectivo uniforme h=100\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Na parte (b) devemos considerar a aleta muito longa (comprimento infinito) e determinar a taxa de calor Q_\infty.

Passo 2

Modelagem da aleta infinita: em regime estacionário e fluxo unidimensional ao longo de x, a equação diferencial para o excesso de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty é
\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2} - m^2\,\theta = 0,
com
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}},
onde P é o perímetro da seção transversal e A_c a área da seção. Para a aleta infinita usamos as condições de contorno
\theta(0) = T_b - T_\infty, \qquad \theta(x\to\infty)=0.

Passo 3

A solução satisfaz
\theta(x) = \theta(0)\,e^{-m x},
e a taxa de calor extraída na base x=0 é
Q_\infty = -k\,A_c\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\Big\vert_{x=0} = m\,k\,A_c\,(T_b - T_\infty).
Também podemos escrever
Q_\infty = \sqrt{h\,P\,k\,A_c}\,\bigl(T_b - T_\infty\bigr).

Passo 4

Calculamos primeiro P e A_c. Convertendo dimensões para metros:
t = 1\\ \mathrm{mm} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \quad w = 8\\ \mathrm{mm} = 8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Então
A_c = w\,t = 8\times10^{-3}\cdot1\times10^{-3} = 8\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
P = 2\,(w + t) = 2\,(8\times10^{-3} + 1\times10^{-3}) = 2\cdot9\times10^{-3} = 1{,}8\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
O parâmetro m fica
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{100\cdot1{,}8\times10^{-2}}{180\cdot8\times10^{-6}}} = \sqrt{1250}\approx35{,}36\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Agora calculamos
Q_\infty = m\,k\,A_c\,(T_b - T_\infty) = 35{,}36\cdot180\cdot8\times10^{-6}\cdot(400-25).
Observe que
180\cdot8\times10^{-6}=1{,}44\times10^{-3}, \quad 35{,}36\cdot1{,}44\times10^{-3}=0{,}05091, \quad 400-25=375,
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Q_\infty = 0{,}05091\cdot375 \approx 19{,}1\\ \mathrm{W}.

Resposta

A taxa de transferência de calor para a aleta considerada muito longa é
Q_\infty \approx 19{,}1\\ \mathrm{W}.

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