[27] Considere a função f: R^2 longrightarrow R definida por
f(x, y)= x y|x|+|y|, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Mostre que f não é diferenciável no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f:R^2toR, dada por
f(x,y)=dfracxy|x|+|y|,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0),
não é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade no ponto e o cálculo das derivadas parciais.

Passo 2

Para testar diferenciabilidade em (0,0), primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0). Por definição tem-se
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0
Logo, se f fosse diferenciável, o diferencial em (0,0) seria o mapa linear nulo L(h,k)=0.

Passo 3

Pela definição, f é diferenciável em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0
Como L(x,y)=0, basta verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)raizx^2+y^2=0 \nou não.

Passo 4

Para demonstrar que esse limite não é zero, escolhemos a reta y=x (com x>0). Nesse caso
f(x,x)=xcdot x|x|+|x|=x^22x=x2,
e o denominador (\sqrt{x2+y2}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt2. Assim
f(x,x)raizx^2+x^2=x/2xraiz2=12raiz2neq0
e esse quociente permanece constante quando xto0^+, não tende a zero.

Passo 5

Como encontramos uma direção ( y=x) em que o limite do quociente não é zero, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)raizx^2+y^2neq0
e portanto f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável no ponto (0,0).

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