[27] Considere a função
definida por
Mostre que
não é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, dada por
não é diferenciável em
. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a definição de diferenciabilidade no ponto e o cálculo das derivadas parciais.
Passo 2
Para testar diferenciabilidade em
, primeiro calculamos as derivadas parciais em
. Por definição tem-se
Logo, se f fosse diferenciável, o diferencial em
seria o mapa linear nulo
.
Passo 3
Pela definição, f é diferenciável em
se
Como
, basta verificar se
Passo 4
Para demonstrar que esse limite não é zero, escolhemos a reta
(com
). Nesse caso
e o denominador (\sqrt{x2+y2}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt2. Assim
e esse quociente permanece constante quando
, não tende a zero.
Passo 5
Como encontramos uma direção (
) em que o limite do quociente não é zero, concluímos que
e portanto
não satisfaz a definição de diferenciabilidade em
.
Resposta
A função não é diferenciável no ponto (0,0).