Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
arctg x=lim N infty sumn=0^N(-1)^n x^2 n+12 n+1,|x| <= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expansão de Taylor (em torno de 0) de arctan x coincide com a série de potências sumn=0^infty(-1)^ntfracx^2n+12n+1 quando |x|<=1, usando o resto de Lagrange. Vamos usar a função derivada f'(x)=tfrac11+x^2, expandi-la e depois integrar para obter f(x)=arctan x.

Passo 2

Para expandir f'(x)=tfrac11+x^2 como série de potências, consideramos a função auxiliar g(u)=(1+u)^-1 e seu polinômio de Taylor de ordem N em u=0 com resto de Lagrange:
g(u)=sumn=0^N(-1)^n u^n + RN+1(u),
onde
$$R_{N+1}(u)=\frac{g{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!},u{N+1},\quad g{(N+1)}(u)=(-1){N+1}(N+1)!,(1+u)^{-N-2}
RN+1(u)=g^(N+1)(xi)(N+1)!,u^N+1, g^(N+1)(u)=(-1)^N+1(N+1)!,(1+u)^-N-2 \frac1{1+u}=\sum_{n=0}N(-1)n u^n + (-1){N+1}\frac{u{N+1}}{(1+\xi)^{N+2}}.$$

Passo 3

Agora fazemos u=x^2. Assim
f'(x)=11+x^2=sumn=0^N(-1)^n x^2n + (-1)^N+1x^2N+2(1+xi^2)^N+2,
para algum xi entre 0 e |x|. Essa é a expansão de Taylor de f' com resto de Lagrange.

Passo 4

Integrando de 0 até x temos
arctan x = f(x)-f(0)=integral0^x f'(t),dt = sumn=0^N(-1)^nx^2n+12n+1 + R(x),
onde o resto
R(x)=(-1)^N+1integral0^x t^2N+2(1+xi(t)^2)^N+2,dt

Passo 5

Como (1+xi(t)^2)^N+2>=1 e |t|<=|x|<=1, temos
|R(x)|<=integral0^|x|t^2N+2dt=|x|^2N+32N+3<=12N+3
Quando Ntoinfty, |R(x)|to0, mostrando que a série converge para arctan x em todo |x|<=1.

Resposta

arctan x=limNtoinftysumn=0^N(-1)^n,x^2n+12n+1, |x|<=1.

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