Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expansão de Taylor (em torno de 0) de
coincide com a série de potências
quando
, usando o resto de Lagrange. Vamos usar a função derivada
, expandi-la e depois integrar para obter
.
Passo 2
Para expandir
como série de potências, consideramos a função auxiliar
e seu polinômio de Taylor de ordem
em
com resto de Lagrange:
onde
$$R_{N+1}(u)=\frac{g{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!},u{N+1},\quad g{(N+1)}(u)=(-1){N+1}(N+1)!,(1+u)^{-N-2}
Passo 3
Agora fazemos
. Assim
para algum
Passo 4
Integrando de 0 até
temos
onde o resto
Passo 5
Como
e
, temos
Quando