Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que a função
admite a série de Taylor centrada em
dada por
para
. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto de Lagrange para provar que o termo de resto tende a zero.
Passo 2
O Teorema de Taylor com resto de Lagrange afirma que, para uma função
de classe
em um intervalo que contém
e
, temos
onde existe
entre
e
tal que
Passo 3
Calculamos as derivadas de
. Para
vale
Passo 4
Avaliando em
, temos
e, para
,
Logo o polinômio de Taylor até a ordem
é
Passo 5
Para o resto, usamos a expressão
Como
está entre
e
, para
vale
. Assim
Passo 6
Como
, o fator
faz com que
quando
. Portanto, o resto desaparece e obtemos
com convergência garantida para
.