Use a fómula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar as igualdades abaixo:
ln (1+x)=lim N infty sumn=1^N (-1)^n+1n x^n,|x|<1

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que a função f(x)=ln(1+x) admite a série de Taylor centrada em 0 dada por sumn=1^infty (-1)^n+1nx^n para |x|<1. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto de Lagrange para provar que o termo de resto tende a zero.

Passo 2

O Teorema de Taylor com resto de Lagrange afirma que, para uma função f de classe C^N+1 em um intervalo que contém 0 e x, temos
f(x)=sumk=0^Nf^(k)(0)k!x^k + RN+1(x),
onde existe xi entre 0 e x tal que
RN+1(x)=f^(N+1)(xi)(N+1)!,x^N+1

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x)=ln(1+x). Para k>=1 vale
f'(x)=11+x,
f''(x)=-1(1+x)^2,
f^(k)(x)=(-1)^k-1(k-1)!(1+x)^k

Passo 4

Avaliando em x=0, temos f(0)=ln1=0 e, para k>=1,
f^(k)(0)=(-1)^k-1(k-1)!
Logo o polinômio de Taylor até a ordem N é
sumk=0^Nf^(k)(0)k!x^k =0+sumk=1^N(-1)^k-1(k-1)!k!x^k =sumk=1^N(-1)^k-1kx^k

Passo 5

Para o resto, usamos a expressão
RN+1(x)=f^(N+1)(xi)(N+1)!x^N+1 =(-1)^N N!(N+1)!x^N+1(1+xi)^N+1 =(-1)^NN+1x^N+1(1+xi)^N+1
Como xi está entre 0 e x, para |x|<1 vale |1+xi|>=1-|x|>0. Assim
|RN+1(x)|<=|x|^N+1N+11(1-|x|)^N+1

Passo 6

Como |x|<1, o fator |x|^N+1 faz com que |RN+1(x)|to0 quando Ntoinfty. Portanto, o resto desaparece e obtemos
ln(1+x)=limNtoinftysumn=1^N(-1)^n+1nx^n,
com convergência garantida para |x|<1.

Resposta

ln(1+x)=sumn=1^infty (-1)^n+1nx^n, |x|<1

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