Prove, por definição, que
lim x 1(3 x+1)=4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (ε–δ), que para a função f(x)=3x+1 temos , encontrar limxto1f(x)=4 Vamos precisar da definição: dado (varepsilon>0 tal que sempre que de0 então |x-1|.

Passo 2

Para aplicar a definição, calculemos a diferença entre f(x) e 4:

Passo 3

|f(x)-4|=|3x+1-4|=|3x-3|=3|x-1|
Para garantir que |f(x)-4| basta ter
3|x-1|
o que equivale a
|x-1|

Passo 4

Agora finalizamos a prova escolhendo de. Assim, dado qualquer varepsilon>0, se |x-1| então
|f(x)-4|=3|x-1|<3cdotvarepsilon3=varepsilon,
mostrando que, por definição, limxto1(3x+1)=4.

Resposta

4

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