1. Determine f^(101)(1) - f^(100)(1) para as funções dadas a seguir:
    (a) f(x) = log2(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar para a função . Aqui, estamos lidando com derivadas de ordem elevada de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivadas sucessivas de funções logarítmicas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de logaritmo natural para facilitar a derivação. Usamos a mudança de base:
Isso nos ajuda porque sabemos melhor como derivar .

Passo 3

Agora, vamos derivar sucessivamente. A primeira derivada de é , então:

Passo 4

Continuando com as derivadas, a segunda derivada de é , então:
Percebemos que a cada derivada, o sinal alterna e a potência de aumenta.

Passo 5

Seguindo esse padrão, a n-ésima derivada de será:
Isso porque cada derivada aumenta o expoente de e multiplica por um fator que envolve o fatorial de .

Passo 6

Agora, vamos avaliar e usando a fórmula acima:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a diferença:

Resposta

A diferença é igual a .

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