- Determine
para as funções dadas a seguir:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar
para a função
. Aqui, estamos lidando com derivadas de ordem elevada de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivadas sucessivas de funções logarítmicas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de logaritmo natural para facilitar a derivação. Usamos a mudança de base:
Isso nos ajuda porque sabemos melhor como derivar
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
sucessivamente. A primeira derivada de
é
, então:
Passo 4
Continuando com as derivadas, a segunda derivada de
é
, então:
Percebemos que a cada derivada, o sinal alterna e a potência de
aumenta.
Passo 5
Seguindo esse padrão, a n-ésima derivada de
será:
Isso porque cada derivada aumenta o expoente de
e multiplica por um fator que envolve o fatorial de
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar
e
usando a fórmula acima:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a diferença:
Resposta
A diferença
é igual a
.