(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a sua derivada em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções inversas trigonométricas e a regra da cadeia para derivação.
Passo 2
A função
é a função inversa do secante. Isso significa que se
, então
. Vamos usar essa relação para encontrar a derivada.
Passo 3
Começamos derivando ambos os lados da equação
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia). A derivada de
em relação a
é
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos substituir isso na equação:
Passo 6
Precisamos expressar
em termos de
. Usando a identidade trigonométrica
, e sabendo que
, temos:
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Passo 8
Para garantir que o denominador seja positivo, usamos o valor absoluto de
. Assim, a derivada final fica:
Resposta
A derivada de
é: