(e) y = arcsec(u) => y' = u'/(|u| * raiz(u^2 - 1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a sua derivada em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções inversas trigonométricas e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

A função é a função inversa do secante. Isso significa que se , então . Vamos usar essa relação para encontrar a derivada.

Passo 3

Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a . A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia). A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Sabemos que , então podemos substituir isso na equação:

Passo 6

Precisamos expressar em termos de . Usando a identidade trigonométrica , e sabendo que , temos:

Passo 7

Substituindo na equação de :

Passo 8

Para garantir que o denominador seja positivo, usamos o valor absoluto de . Assim, a derivada final fica:

Resposta

A derivada de é:

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