- A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo
segundo a equação
, onde
e
são constantes positivas. Use a DEFINIÇÃO de derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
com o tempo
. A equação que descreve essa posição é:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em relação a uma variável, nesse caso, a posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a velocidade é o limite da variação da posição dividida pela variação do tempo, quando essa variação do tempo
fica bem pequena, praticamente zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função
.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, vamos montar a expressão da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, podemos fatorar os termos constantes:
Vamos analisar o limite:
Sabemos que, para pequenos valores de
,
(usando a expansão de Taylor). Então:
Substituindo no limite:
Portanto:
Resposta
A velocidade da partícula no instante
é: