1. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo y varia com o tempo x segundo a equação y = v0/c(1 - e^(-c x)), x ≥ 0, onde v0 e c são constantes positivas. Use a DEFINIÇÃO de derivadas para determinar a velocidade da partícula no instante x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo com o tempo . A equação que descreve essa posição é:
Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula em qualquer instante . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em relação a uma variável, nesse caso, a posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a velocidade é o limite da variação da posição dividida pela variação do tempo, quando essa variação do tempo fica bem pequena, praticamente zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função .
Primeiro, vamos calcular :
Agora, vamos montar a expressão da derivada:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Agora, podemos fatorar os termos constantes:
Vamos analisar o limite:
Sabemos que, para pequenos valores de , (usando a expansão de Taylor). Então:
Substituindo no limite:
Portanto:

Resposta

A velocidade da partícula no instante é:

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