27) Problema de Distribuição Hipergeométrica:

Suponha que num lote de \mathrm{N}=100 peças, \mathrm{r}=10 sejam defeituosas. Escolhendo \mathrm{n}=5 peças sem reposição, qual a probabilidade de:
a) nenhuma ser defeituosas?
b) no máximo 1 ser defeituosa?
c) exatamente uma ser defeituosa?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um lote de N=100 peças, das quais r=10 são defeituosas e N-r=90 são boas. Vamos extrair n=5 peças sem reposição e chamar X o número de peças defeituosas na amostra. O conteúdo é distribuição hipergeométrica. Precisamos calcular
a) \Pr(X=0),
b) \Pr(X\le1),
c) \Pr(X=1).

Passo 2

Para a distribuição hipergeométrica vale
\Pr(X=k) =\frac{\displaystyle \binom{r}{k}\,\binom{N-r}{\,n-k\,}}{\displaystyle \binom{N}{n}}.

Passo 3

Aplicando k=0 em \Pr(X=k), obtemos
\Pr(X=0) =\frac{\binom{10}{0}\,\binom{90}{5}}{\binom{100}{5}} =\frac{\binom{90}{5}}{\binom{100}{5}}.
Em forma de produto de razões sem reposição:
\Pr(X=0) =\frac{90}{100}\cdot\frac{89}{99}\cdot\frac{88}{98}\cdot\frac{87}{97}\cdot\frac{86}{96} \approx0,5836.

Passo 4

Aplicando k=1, temos
\Pr(X=1) =\frac{\binom{10}{1}\,\binom{90}{4}}{\binom{100}{5}} =10\;\frac{\binom{90}{4}}{\binom{100}{5}}.
Podemos relacionar com \Pr(X=0) ou calcular direto. Numericamente
\Pr(X=1)\approx0,3394.

Passo 5

Para “no máximo 1” somamos os dois casos:
\Pr(X\le1) =\Pr(X=0)+\Pr(X=1) \approx0,5836+0,3394=0,9230.

Resposta

a) \Pr(X=0)=\dfrac{\binom{90}{5}}{\binom{100}{5}}\approx0,5836
b) \Pr(X\le1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx0,9230
c) \Pr(X=1)=\dfrac{\binom{10}{1}\,\binom{90}{4}}{\binom{100}{5}}\approx0,3394

Exercícios relacionados