Faça com que \boldsymbol{x} represente o número de carros que uma oficina mecânica, aleatoriamente selecionada, conserta em um determinado dia. A tabela a seguir apresenta a distribuição de probabilidades de \boldsymbol{x}.
\mathbf{x} 2 3 4 5 6
\mathbf{P}(\mathbf{x}) 0,05 0,22 0,40 0,23 0,10
Encontre a média aritmética e o desvio-padrão de \boldsymbol{x}. Apresente uma interpretação sucinta para o valor da média aritmética.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória discreta X como o número de carros que uma oficina conserta em um dia, com distribuição
\begin{array}{c|ccccc} x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline P(X=x) & 0,05 & 0,22 & 0,40 & 0,23 & 0,10 \end{array}
Queremos calcular a média aritmética (esperança) e o desvio-padrão de X. Para isso, usaremos as fórmulas
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,P(X=x), \qquad \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2, \qquad \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calculemos primeiro a esperança:
\mathbb{E}[X] =2\cdot0,05+3\cdot0,22+4\cdot0,40+5\cdot0,23+6\cdot0,10 =0,10+0,66+1,60+1,15+0,60 =4,11.

Passo 3

Em seguida, encontramos \mathbb{E}[X^2] e a variância:
\mathbb{E}[X^2] =2^2\cdot0,05+3^2\cdot0,22+4^2\cdot0,40+5^2\cdot0,23+6^2\cdot0,10 =0,20+1,98+6,40+5,75+3,60 =17,93,
\mathrm{Var}(X) =17,93-(4,11)^2 =17,93-16,8921 \approx1,0379,
\sigma_X =\sqrt{1,0379} \approx1,02.

Passo 4

A média aritmética \mathbb{E}[X]=4,11 indica que, em média, a oficina conserta cerca de 4 carros por dia.

Resposta

Média aritmética: \mathbb{E}[X]=4,11 carros/dia
Desvio-padrão: \sigma_X\approx1,02 carros/dia
Interpretação: em média, a oficina conserta cerca de 4 carros diariamente.

Exercícios relacionados