Em uma lista de 15 famílias (domicílios), 9 possuem casa própria e 6 não possuem. Quatro famílias são aleatoriamente selecionadas dentre essas 15 famílias. Encontre a probabilidade de que o número de famílias que possuam casa própria, entre essas 4, seja
exatamente 4

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população de N=15 famílias, das quais 9 possuem casa própria (sucessos) e 6 não possuem. Vamos selecionar n=4 famílias sem reposição e queremos a probabilidade de obter exatamente k=4 famílias com casa própria. O modelo adequado é a distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n retiradas de uma população de tamanho N, com M sucessos na população, é
P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\,\binom{N - M}{\,n - k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui N=15, M=9, n=4 e k=4, logo
P(X = 4) = \frac{\binom{9}{4}\,\binom{6}{0}}{\binom{15}{4}}.

Passo 3

Calculemos as combinações:
\binom{9}{4} = 126, \quad \binom{6}{0} = 1, \quad \binom{15}{4} = 1365.

Passo 4

Substituindo,
P(X = 4) = \frac{126 \times 1}{1365} = \frac{126}{1365}.
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 21:
\frac{126}{1365} = \frac{6}{65}.

Resposta

A probabilidade de exatamente quatro famílias selecionadas possuírem casa própria é \tfrac{6}{65}.

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