Considere uma casca condutora esférica eletricamente carregada e em equilíbrio eletrostático. A respeito dessa casca, são feitas as seguintes afirmações:
I. A superfície externa desse condutor define uma superfície equipotencial.
II. O campo elétrico em qualquer ponto da superfície externa do condutor é perpendicular à superfície.
III. O campo elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca é nulo.
IV. O potencial elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca é nulo.
Quais destas estão corretas?
a) Apenas I.
b) II e IV.
c) I e IV.
d) I e III.
e) I, II e III.
f) Todas.

Passo 1

O enunciado apresenta uma casca condutora esférica eletricamente carregada em equilíbrio eletrostático e faz quatro afirmações sobre ela. Preciso indicar quais dessas afirmações são corretas. As afirmações são:
I. A superfície externa desse condutor define uma superfície equipotencial.
II. O campo elétrico em qualquer ponto da superfície externa do condutor é perpendicular à superfície.
III. O campo elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca é nulo.
IV. O potencial elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca é nulo.
O que se pergunta: quais das afirmações I–IV são verdadeiras, escolhendo a alternativa correta entre as opções dadas.
Informações relevantes que o enunciado dá (essas são as hipóteses que vamos usar sem perguntar nada extra):
  • A casca é um condutor (material condutor) e está em equilíbrio eletrostático.
  • A casca é esférica e está carregada (possui carga total Q).
  • Não foi mencionada nenhuma carga no interior da cavidade (assume-se a casca isolada, ou seja, as cargas estão na casca).

Passo 2

Propriedade fundamental de condutores em equilíbrio: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Vou explicar e justificar isso de forma simples.
  • O que significa “campo elétrico nulo no interior do condutor”? Significa que, para qualquer ponto que esteja dentro do material metálico, \mathbf{E}=\mathbf{0}.
  • Por que isso ocorre? Se houvesse um campo elétrico tangente não nulo dentro do condutor, elétrons livres se moveriam e haveria corrente até que esse componente tangente fosse anulado; em equilíbrio não há correntes, logo o campo dentro do condutor deve ser zero.
  • Fórmula relacionada: o potencial elétrico V é relacionado ao campo por \mathbf{E}=-\nabla V. Se \mathbf{E}=\mathbf{0} dentro do condutor, então \nabla V=\mathbf{0} ali, isto é, V é constante dentro do volume do condutor e, por continuidade, também nas superfícies metálicas.
Do ponto acima segue imediatamente que toda superfície do condutor é equipotencial — em particular, a superfície externa do condutor tem o mesmo potencial em todos os seus pontos. Isso responde a I: a superfície externa é uma superfície equipotencial. (I é verdadeira.)

Passo 3

Perpendicularidade do campo na superfície (afirmação II). Explico dois argumentos — físico e pelo contorno de campo — que chegam à mesma conclusão:
Argumento físico (sem jargões):
  • Se houvesse componente tangencial do campo elétrico exatamente na superfície do condutor, essa componente faria as cargas livres deslizar ao longo da superfície, gerando corrente. Em equilíbrio eletrostático não há movimento de cargas, então a componente tangencial do campo deve ser zero. Logo, o campo só pode ter componente normal (perpendicular) à superfície. Portanto, o campo é perpendicular à superfície do condutor. (II é verdadeira.)
Argumento pela condição de contorno (mais formal):
  • Denotando por \sigma a densidade de carga superficial (carga por área) na superfície do condutor e por \varepsilon_0 a permissividade do vácuo, a condição de contorno para a componente normal do campo elétrico atravessando a superfície é
E_{\text{out}}^\perp - E_{\text{in}}^\perp = \frac{\sigma}{\varepsilon_0},
onde E_{\text{out}}^\perp é a componente normal do campo do lado de fora e E_{\text{in}}^\perp é a componente normal do lado de dentro do material. Como dentro do condutor \mathbf{E}=\mathbf{0} temos E_{\text{in}}^\perp=0, logo
E_{\text{out}}^\perp = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
Isso mostra que a componente normal fora da superfície é determinada por \sigma e não existe componente tangencial (pois ela seria contínua e levaria a corrente), confirmando que \mathbf{E} é perpendicular à superfície.
Resumo: II é verdadeira.

Passo 4

Campo elétrico no espaço interior à casca (afirmação III). Aqui vou usar Gauss e a simetria esférica para deixar tudo bem claro.
  • Seja R o raio externo da casca condutora (ou, de modo geral, o raio da superfície onde a carga reside). Considere um ponto no interior da cavidade, ou seja, com coordenada radial r<R.
  • Aplique a Lei de Gauss: para uma superfície gaussiana esférica de raio r<R centrada no mesmo centro da casca, a integral de fluxo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Se não há cargas dentro da cavidade (hipótese usual aqui: a casca está carregada mas não há carga no interior), então Q_{\text{enc}}=0. Assim a integral do lado esquerdo é zero. Pela simetria esférica, \mathbf{E} teria mesma magnitude em toda a superfície gaussiana e radial; então
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0\quad\text{para }r<R.
  • Portanto o campo elétrico em qualquer ponto do espaço interior à casca é nulo, desde que não haja carga presa dentro da cavidade. Isso confirma que III é verdadeira.
Observação útil: esse resultado não depende de escolha de referência de potencial; é um resultado físico sobre o campo.

Passo 5

Potencial elétrico no interior (afirmação IV). Vamos relacionar o potencial dentro da cavidade com a carga total Q e mostrar por que afirmar que esse potencial é nulo é, em geral, falso.
  • Como vimos, dentro da cavidade e dentro do material do condutor o campo é zero, então o potencial V é constante em toda essa região. Em particular, para todo r\le R (dentro da casca) o potencial vale o mesmo valor que o potencial exatamente na superfície.
  • Se escolhermos como referência habitual o potencial nulo no infinito ( V(\infty)=0), o potencial fora da casca (para r\ge R) é, pela lei do campo de uma carga total Q concentrada efetivamente na casca (devido à simetria esférica),
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\qquad (r\ge R),
e portanto o potencial na superfície ( r=R) é
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}.
  • Como o potencial é constante para r\le R, para qualquer ponto do interior V(r)=V(R)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}. Esse valor só é zero se Q=0. Mas o enunciado diz que a casca está carregada, então Q\neq0 em geral. Logo, em geral o potencial no interior NÃO é nulo. A afirmação IV é falsa.
Também dá para ver de forma simples: o interior tem potencial constante, mas não necessariamente igual a zero — depende da carga total e da referência de potencial.

Passo 6

Conclusão final sobre as afirmações:
  • I é verdadeira (superfície do condutor é equipotencial).
  • II é verdadeira (campo na superfície é perpendicular).
  • III é verdadeira (campo no interior da casca é nulo, assumindo que não há cargas internas).
  • IV é falsa (o potencial no interior é constante, mas igual a \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}, não zero, salvo no caso trivial Q=0 ou escolha de referência).
Portanto as afirmações corretas são I, II e III.

Resposta

e) I, II e III

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