[27] Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
\oint_{C}-y^{3} d x+x^{3} d y, onde C é o caminho fechado formado por y=x^3 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC -y^3,dx + x^3,dy usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui é aplicar Green, que troca uma integral de linha num contorno C fechado por uma integral dupla sobre a região R que ele encerra.

Passo 2

Pela fórmula de Green, temos P(x,y)=-y^3 e Q(x,y)=x^3, e então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3x^2-(-3y^2)=3l(x^2+y^2r)

Passo 3

Agora precisamos descrever a região R: é o conjunto de pontos entre as curvas y=x^3 (inferior) e y=x (superior), com x variando de 0 até 1.

Passo 4

Montamos a integral dupla:
ointC -y^3,dx + x^3,dy = integral duplaR 3(x^2+y^2),dA = integralx=0^1 integraly=x^3^y=x 3(x^2+y^2),dy,dx

Passo 5

Fazendo primeiro a integral em y:
integraly=x^3^y=x3(x^2+y^2),dy = 3l[x^2y+tfracy^33r]y=x^3^y=x = 3l(x^3+tfracx^33 - x^5 - tfracx^93r) = 4x^3 -3x^5 - x^9

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1 (4x^3 -3x^5 - x^9),dx = l[x^4 - tfracx^62 - tfracx^1010r]0^1 = 1 - tfrac12 - tfrac110 = tfrac25

Resposta

25

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