[27] Utilize o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha:
\oint_{C}-y^{3} d x+x^{3} d y, onde
é o caminho fechado formado por
e
.
\oint_{C}-y^{3} d x+x^{3} d y, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui é aplicar Green, que troca uma integral de linha num contorno
fechado por uma integral dupla sobre a região
que ele encerra.
Passo 2
Pela fórmula de Green, temos
e
, e então
Passo 3
Agora precisamos descrever a região
: é o conjunto de pontos entre as curvas
(inferior) e
(superior), com
variando de 0 até 1.
Passo 4
Montamos a integral dupla:
Passo 5
Fazendo primeiro a integral em
:
Passo 6
Agora integramos em
de 0 a 1: