- Encontre, se existir, o
(Sol. Não existe)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis, ou mostrar que ele não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para resolver, vamos precisar simplificar a expressão quando possível e depois verificar o valor ao longo de caminhos diferentes, pois em várias variáveis o limite só existe se for o mesmo independente do caminho de aproximação.
Passo 2
Primeiro, note que para pontos onde x≠0 e y≠0,
y≠−1 podemos simplificar um fator x em numerador e denominador. A função dada é
y≠−1 podemos simplificar um fator x em numerador e denominador. A função dada é
que, cancelando x, fica
Isso facilita a análise dos limites.
Passo 3
Agora, vamos ver o comportamento ao longo de retas horizontais y=c, com c fixo diferente de 0 e de −1. Se y=c e x→0, então
Ou seja, por esses caminhos o limite vale 0.
Passo 4
Por outro lado, escolha o caminho y=x. Substituindo y=x em f(x,y) temos
Quando x→0 esse quociente cresce em módulo sem se aproximar de um valor finito (vai para ±∞, dependendo do lado). Portanto, ao longo de y=x não se obtém 0 nem qualquer outro valor finito.
Passo 5
Como encontramos que por um caminho (y constante não nulo) o limite é 0 e por outro (y=x) o valor diverge, concluímos que não há um único valor limite. Assim, o limite não existe.
Resposta
Não existe