1. Encontre, se existir, o (Sol. Não existe)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis, ou mostrar que ele não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para resolver, vamos precisar simplificar a expressão quando possível e depois verificar o valor ao longo de caminhos diferentes, pois em várias variáveis o limite só existe se for o mesmo independente do caminho de aproximação.

Passo 2

Primeiro, note que para pontos onde x≠0 e y≠0,
y≠−1 podemos simplificar um fator x em numerador e denominador. A função dada é
3x^2(y^2-1)xy^2(y+1)
que, cancelando x, fica
f(x,y)=3x,(y^2-1)y^2(y+1)
Isso facilita a análise dos limites.

Passo 3

Agora, vamos ver o comportamento ao longo de retas horizontais y=c, com c fixo diferente de 0 e de −1. Se y=c e x→0, então
f(x,c)=3x,(c^2-1)c^2(c+1)to0(xto0)
Ou seja, por esses caminhos o limite vale 0.

Passo 4

Por outro lado, escolha o caminho y=x. Substituindo y=x em f(x,y) temos
f(x,x)=3x(x^2-1)x^2(x+1)=3(x^2-1)x(x+1)
Quando x→0 esse quociente cresce em módulo sem se aproximar de um valor finito (vai para ±∞, dependendo do lado). Portanto, ao longo de y=x não se obtém 0 nem qualquer outro valor finito.

Passo 5

Como encontramos que por um caminho (y constante não nulo) o limite é 0 e por outro (y=x) o valor diverge, concluímos que não há um único valor limite. Assim, o limite não existe.

Resposta

Não existe

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