Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=11-z para |z-i|;

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Taylor a função f(z)=11-z em torno de z0=i, válida em |z-i|. Para isso, vamos usar a ideia de série geométrica e reescrever f em função de w=z-i.

Passo 2

Definimos w=z-i, então z=i+w e
11-z=11-(i+w)=1(1-i)-w

Passo 3

Agora fatoramos 1-i do denominador:
11-z=11-i,11-w1-i

Passo 4

Sabemos que a série geométrica dá
11-u=sumn=0^inftyu^n,
que converge para |u|<1. Aqui usamos u=w1-i=z-i1-i, logo:
11-z=11-isumn=0^infty(z-i1-i)^!n=sumn=0^infty(z-i)^n(1-i)^n+1

Passo 5

A região de convergência vem de |u|<1, ou seja
|z-i1-i|<1Longrightarrow|z-i|<|1-i|=raiz2,
que bate com a condição dada.

Resposta

11-z=sumn=0^infty(z-i)^n(1-i)^n+1, |z-i|

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