Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
integral1^e^x(t+cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado nos pede para derivar a função
F(x)=integral1^e^x(t+cos t),dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. O assunto é o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, e derivação de função composta.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, se temos
G(x)=integrala^h(x)f(t),dt,
então
G'(x)=fl(h(x)r)cdot h'(x)
Aqui, identifique
f(t)=t+cos t
e
h(x)=e^x

Passo 3

Substituindo em fl(h(x)r), obtemos:
fl(e^xr)=e^x+cosl(e^xr)

Passo 4

Derivando h(x)=e^x pela regra usual, temos:
h'(x)=e^x

Passo 5

Multiplicando os resultados, a derivada é:
F'(x)=fl(e^xr)cdot h'(x)=l(e^x+cos(e^x)r)cdot e^x=e^2x+e^xcosl(e^xr)

Resposta

F'(x)=e^2x+e^xcosl(e^xr).

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