27a) Se
mostre que a solução de
é
em que
é uma constante.
27b) Se
, supondo que a solução de
é da forma
mostre que
deve satisfazer a condição
27c) Determine
integrando a expressão anterior
27d) Substitua
em
e verifique que ela satisfaz a equação diferencial dada.
27b) Se
27d) Substitua
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem da forma:
Nesta questão, vamos explorar diferentes cenários para
e encontrar soluções para
. Precisaremos usar conceitos de equações diferenciais lineares e integrais para resolver cada parte.
Passo 2
Parte 27a: Quando
, a equação diferencial fica:
Essa é uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar:
Isso sugere que podemos separar as variáveis.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
A integral de
é
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, aplicamos a exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Como a equação original tinha um sinal negativo, ajustamos:
Resposta
A solução da equação diferencial
é:
onde
é uma constante.