y^prime-p(x) y=g(x)
27a) Se g(x)=0 mostre que a solução de y^prime-p(x) y=0 é
y(x)=C e^-integral p(x) d x
em que C é uma constante.
27b) Se g(x) neq 0, supondo que a solução de y^prime-p(x) y=g(x) é da forma
y(x)=C(x) e^-integral p(x) d x
mostre que C(x) deve satisfazer a condição
C^prime(x)=g(x) e^integral p(x) d x
27c) Determine C(x) integrando a expressão anterior
27d) Substitua C(x) em y(x)=C(x) e^-integral p(x) d x e verifique que ela satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem da forma:
y^prime - p(x) y = g(x)
Nesta questão, vamos explorar diferentes cenários para g(x) e encontrar soluções para y(x) . Precisaremos usar conceitos de equações diferenciais lineares e integrais para resolver cada parte.

Passo 2

Parte 27a: Quando g(x) = 0 , a equação diferencial fica:
y^prime - p(x) y = 0
Essa é uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar:
y^prime = p(x) y
Isso sugere que podemos separar as variáveis.

Passo 3

Vamos separar as variáveis y e x :
dyy = p(x) dx
Agora, integramos ambos os lados para encontrar y :
integral 1y dy = integral p(x) dx
A integral de 1y dy é ln|y| , então temos:
ln|y| = integral p(x) dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y , aplicamos a exponencial em ambos os lados:
y = e^integral p(x) dx + C = e^C e^integral p(x) dx
Como e^C é apenas uma constante, podemos renomeá-la como C :
y(x) = C e^integral p(x) dx
Como a equação original tinha um sinal negativo, ajustamos:
y(x) = C e^-integral p(x) dx

Resposta

A solução da equação diferencial y^prime - p(x) y = 0 é:
y(x) = C e^-integral p(x) dx
onde C é uma constante.

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