Seja um triângulo qualquer de lados a, b, c, opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Pede-se:
a) Expresse A implicitamente como uma função de a, b e c e calcule partial Apartial a e partial Apartial b.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo com lados a,b,c opostos aos ângulos A,B,C. Vamos usar a Lei dos Cossenos para escrever uma relação implícita entre A e a,b,c, e em seguida obter partial A/partial a e partial A/partial b por diferenciação implícita.

Passo 2

Pela Lei dos Cossenos temos
a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,ccos A
Definimos a função implícita
g(A,a,b,c) = b^2 + c^2 - a^2 - 2,b,ccos A = 0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial A = -2,b,c,(-sin A) = 2,b,c,sin A,
partial gpartial a = -2,a, partial gpartial b = 2,b - 2,ccos A

Passo 4

Pela regra de diferenciação implícita, mantendo b,c fixos para partial/partial a e vice-versa,
partial Apartial a = -partial g/partial apartial g/partial A = --2,a2,b,c,sin A = ab,c,sin A,
partial Apartial b = -partial g/partial bpartial g/partial A = -2,b - 2,ccos A2,b,c,sin A = -b - ccos Ab,c,sin A

Resposta

partial Apartial a = ab,c,sin A, partial Apartial b = -b - ccos Ab,c,sin A

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