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Considere a função f(x, y)=-x^2-y^2+4.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função de duas variáveis
f(x,y) = -x^2 - y^2 + 4
Essa é uma função polinomial em (x,y), então precisamos usar conceitos de função de várias variáveis: domínio (onde a função está definida) e imagem (valores que ela pode assumir).

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que não há frações, raízes pares nem logaritmos em ,f. Trata-se de um polinômio em x e y, que está bem definido para todos os pontos (x,y). Logo,
Dom(f)=R^2

Passo 3

Para o conjunto imagem, note que x^2+y^2 é sempre >=0. Assim
f(x,y)=4 - l(x^2+y^2r)<= 4
O valor máximo 4 ocorre em (x,y)=(0,0). Por outro lado, basta deixar raizx^2+y^2toinfty para que f(x,y)to -infty. Desse modo f atinge todo valor real menor ou igual a 4, ou seja,
Im(f)=(-infty,4]

Resposta

Domínio: Dom(f)=R^2
Imagem: Im(f)=(-infty,4]

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