y^prime prime-7 y^prime+10 y=9 cos t+7 sen t
y(0)=5, y^prime(0)=-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 7y' + 10y = 9cos t + 7sin t
com as condições iniciais y(0)=5 e y'(0)=-4. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois buscamos uma particular para o termo forçante, e por fim aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 7y' + 10y = 0
A equação característica é
r^2 - 7r + 10 = 0
com raízes r=5 e r=2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^5t + C2 e^2t

Passo 3

Para a solução particular, tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo na equação original:
Agrupando coeficientes de
Resolvendo, obtemos , logo

Passo 4

A solução geral da equação é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^5t + C2 e^2t + cos t
Derivando para usar a condição em y':
y'(t) = 5C1 e^5t +2C2 e^2t - sin t

Passo 5

Aplicando y(0)=5 e y'(0)=-4:
y(0)=C1 + C2 +1 =5 Rightarrow C1 + C2 =4,
y'(0)=5C1 +2C2 = -4
Resolvendo esse sistema, achamos
C1 = -4, C2 = 8

Resposta

y(t) = -4e^5t + 8e^2t + cos t

Exercícios relacionados