y^prime prime+6 y^prime+5 y=12 e^t;
y(0)=-1, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado pede resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 5y = 12e^t
sujeita às condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=7. A estratégia é escrever a solução geral como soma da parte homogênea yh e de uma parte particular yp.

Passo 2

Para encontrar yh, resolvemos a equação característica
r^2 + 6r + 5 = 0
As raízes são r=-1 e r=-5, o que dá
yh = C1 e^-t + C2 e^-5t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 12e^t, procuramos yp=A e^t. Então
yp' = A e^t, yp'' = A e^t
Substituindo em y''+6y'+5y=12e^t obtemos
A e^t + 6A e^t + 5A e^t = 12e^t Longrightarrow 12A e^t = 12e^t Longrightarrow A=1
Logo,
yp = e^t

Passo 4

A solução geral fica
y = yh + yp = C1 e^-t + C2 e^-5t + e^t
Calculamos agora y(0) e y'(0) para achar C1,C2.
y(0) = C1 + C2 + 1 = -1,
y' = -C1 e^-t -5C2 e^-5t + e^t Longrightarrow y'(0) = -C1 -5C2 + 1 = 7

Passo 5

Do sistema
C1 + C2 = -2, -,C1 - 5C2 = 6,
segue C2 = -1 e C1 = -1.

Resposta

y(t) = -e^-t ;-; e^-5t ;+; e^t

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