Considere a função f(x, y)=x^2+9 y^2+1.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo das curvas de nível de
f(x,y)=x^2+9y^2+1
Curvas de nível são os conjuntos
Lc=(x,y)inR^2mid f(x,y)=c,
ou seja, resolvemos a equação f(x,y)=c para cada valor de cinR.

Passo 2

Começamos igualando f(x,y) a um valor c:
x^2+9y^2+1=c
que é equivalente a
x^2+9y^2=c-1

Passo 3

Analisamos três faixas de c:
  1. Se c<1 então c-1<0 e x^2+9y^2=c-1<0 não tem solução real. Portanto
    Lc=varnothing.
  2. Se c=1 então x^2+9y^2=0 implica x=0 e y=0. Logo
    L1=(0,0).
  3. Se c>1 então c-1>0 e a equação x^2+9y^2=c-1 define uma curva do tipo elipse centrada na origem.

Passo 4

Para c>1 escrevemos em forma padrão de elipse:
x^2,c-1,+y^2,(c-1)/9,=1
Isso mostra que os semi-eixos são
a=raizc-1 (no eixo (x)), b=raizc-13 (no eixo (y))
À medida que c cresce acima de 1, a elipse se expande, mantendo centro na origem e eixos alinhados com os eixos coordenados.

Resposta

Para cada nível c temos
(a) c<1: nenhuma curva ( varnothing);
(b) c=1: ponto (0,0);
(c) c>1: elipse centrada na origem dada por
x^2c-1+y^2(c-1)/9=1,
com semi-eixos raizc-1 no x e tfracraizc-13 no y.

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