Considere a função
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
.
(b) Faça um estudo das curvas de nível de
Passo 1
O enunciado pede o estudo das curvas de nível de
Curvas de nível são os conjuntos
ou seja, resolvemos a equação
para cada valor de
.
Passo 2
Começamos igualando
a um valor
:
que é equivalente a
Passo 3
Analisamos três faixas de
:
- Se
então e não tem solução real. Portanto
. - Se
então implica e . Logo
. - Se
então e a equação define uma curva do tipo elipse centrada na origem.
Passo 4
Para
escrevemos em forma padrão de elipse:
Isso mostra que os semi-eixos são
À medida que
cresce acima de
, a elipse se expande, mantendo centro na origem e eixos alinhados com os eixos coordenados.
Resposta
Para cada nível
temos
(a) : nenhuma curva (
);
(b) : ponto
;
(c) : elipse centrada na origem dada por
(a)
(b)
(c)
com semi-eixos
no
e
no
.