31 A é uma matriz quadrada de ordem 6 \operatorname{det} A=x. Qual é o valor do determinante da matriz obtida a partir de A quando suas duas primeiras linhas são multiplicadas por 2, as duas linhas seguintes são multiplicadas por 3 e as duas últimas são divididas por 6 ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A de ordem 6 com \det(A)=x. Queremos o determinante da matriz resultante ao multiplicar as linhas 1 e 2 por 2, as linhas 3 e 4 por 3 e as linhas 5 e 6 por \tfrac{1}{6}. Para isso, vamos usar a propriedade que diz que multiplicar uma linha por um escalar k faz o determinante ser multiplicado por k.

Passo 2

Como cada linha escalada contribui multiplicando o determinante pelo mesmo escalar, ao aplicar as operações temos:
\det(\text{nova}) \;=\;\det(A)\;\times\;(2\cdot 2)\;\times\;(3\cdot 3)\;\times\Bigl(\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos o fator de escala total:
(2\cdot 2)\,(3\cdot 3)\,\Bigl(\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\Bigr) = (2^2)(3^2)\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^2 = \frac{4\cdot 9}{36} =1.
Logo,
\det(\text{nova}) = x \times 1 = x.

Resposta

\displaystyle x

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