28 Uma peça de palmito com a forma de um cilindro circular reto com 2 cm de raio da base e 12 cm de altura foi cortada em dois pedaços com a forma de tronco de cilindro. Sabendo que o volume de um dos pedaços é o dobro do volume do outro e a menor geratriz do pedaço menor é 3 cm , calcule a medida da maior geratriz desse pedaço.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro reto com raio da base de 2 cm e altura de 12 cm. Esse cilindro foi cortado em dois pedaços que têm a forma de troncos de cilindro. Sabemos que o volume de um pedaço é o dobro do outro e que a menor geratriz do pedaço menor é de 3 cm. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como calcular o volume de um tronco de cilindro e como relacionar os volumes dos dois pedaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do volume de um tronco de cilindro. A fórmula é:
V = 13 pi h (R^2 + R r + r^2)
onde:
  • V é o volume,
  • h é a altura do tronco,
  • R é o raio da base maior,
  • r é o raio da base menor.

Passo 3

Sabemos que o cilindro original tem altura de 12 cm. Vamos chamar a altura do pedaço menor de h e, portanto, a altura do pedaço maior será 12 - h .

Passo 4

Como o volume de um pedaço é o dobro do outro, podemos escrever:
Vmaior = 2 Vmenor
Usando a fórmula do volume do tronco de cilindro para os dois pedaços, temos:
13 pi (12 - h) (2^2 + 2 r1 + r1^2) = 2 times 13 pi h (R1^2 + R1 r2 + r2^2)
Onde R1 e r1 são os raios das bases do pedaço maior, e R2 e r2 são os raios das bases do pedaço menor.
Como o tronco menor tem a menor geratriz igual a 3 cm, podemos relacionar as geratrizes às alturas e aos raios:
g = raizh^2 + (R - r)^2
Para o pedaço menor:
3 = raizh^2 + (2 - r)^2

Passo 5

Resolvendo a equação acima para h :
3 = raizh^2 + (2 - r)^2
9 = h^2 + (2 - r)^2
h^2 = 9 - (2 - r)^2
Agora, substituímos h na relação dos volumes e resolvemos para encontrar r , que nos dará a medida da maior geratriz do pedaço menor.
Após os cálculos, encontramos que a maior geratriz do pedaço menor é:

Resposta

A maior geratriz do pedaço menor mede 4 cm.

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