28 Uma peça de palmito com a forma de um cilindro circular reto com 2 cm de raio da base e 12 cm de altura foi cortada em dois pedaços com a forma de tronco de cilindro. Sabendo que o volume de um dos pedaços é o dobro do volume do outro e a menor geratriz do pedaço menor é 3 cm , calcule a medida da maior geratriz desse pedaço.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro reto com raio da base de 2 cm e altura de 12 cm. Esse cilindro foi cortado em dois pedaços que têm a forma de troncos de cilindro. Sabemos que o volume de um pedaço é o dobro do outro e que a menor geratriz do pedaço menor é de 3 cm. Para resolvermos isso, vamos precisar entender como calcular o volume de um tronco de cilindro e como relacionar os volumes dos dois pedaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do volume de um tronco de cilindro. A fórmula é:
onde:
-
é o volume, -
é a altura do tronco, -
é o raio da base maior, -
é o raio da base menor.
Passo 3
Sabemos que o cilindro original tem altura de 12 cm. Vamos chamar a altura do pedaço menor de
e, portanto, a altura do pedaço maior será
.
Passo 4
Como o volume de um pedaço é o dobro do outro, podemos escrever:
Usando a fórmula do volume do tronco de cilindro para os dois pedaços, temos:
Onde
e
são os raios das bases do pedaço maior, e
e
são os raios das bases do pedaço menor.
Como o tronco menor tem a menor geratriz igual a 3 cm, podemos relacionar as geratrizes às alturas e aos raios:
Para o pedaço menor:
Passo 5
Resolvendo a equação acima para
:
Agora, substituímos
na relação dos volumes e resolvemos para encontrar
, que nos dará a medida da maior geratriz do pedaço menor.
Após os cálculos, encontramos que a maior geratriz do pedaço menor é:
Resposta
A maior geratriz do pedaço menor mede 4 cm.