Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
6) z=sen(alpha) cdot tg(beta), alpha=3 s+t, beta=s-t

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = sen(alpha),tg(beta)
onde
alpha = 3s + t, beta = s - t
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro tratamos z como função de alpha e beta, ou seja, z = f(alpha,beta) com
f(alpha,beta) = sen(alpha),tg(beta)
Derivando em relação a cada variável interna, temos
partial zpartial alpha = partialpartial alphal(sen(alpha),tg(beta)r) = cos(alpha),tg(beta),
partial zpartial beta = partialpartial betal(sen(alpha),tg(beta)r) = sen(alpha),sec^2(beta)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial alpha,partial alphapartial s + partial zpartial beta,partial betapartial s
Como alpha=3s+t e beta=s-t, temos
partial alphapartial s=3, partial betapartial s=1
Logo
partial zpartial s = 3cos(alpha),tg(beta) + 1cdotsen(alpha),sec^2(beta)

Passo 4

Para partial zpartial t usamos a mesma ideia:
partial zpartial t = partial zpartial alpha,partial alphapartial t + partial zpartial beta,partial betapartial t
Aqui
partial alphapartial t=1, partial betapartial t=-1,
portanto
partial zpartial t = 1cdotcos(alpha),tg(beta) + (-1)cdotsen(alpha),sec^2(beta) = cos(alpha),tg(beta) - sen(alpha),sec^2(beta)

Resposta

partial zpartial s = 3cos(alpha),tg(beta) + sen(alpha),sec^2(beta), partial zpartial t = cos(alpha),tg(beta) - sen(alpha),sec^2(beta),
com alpha=3s+t e beta=s-t.

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