28^ a Questão

Um bloco de massa m=5,0 kg executa M.H.S. horizontal, de acordo com a expressão x(t)=20 sen((pi / 3) t-(pi / 4)), onde y é dado em cm e t em segundos. A energia potencial do sistema será igual à metade da energia mecânica total no instante:
(a) 0,5 s
(b) 1,0 s
(c) 1,5 s
(d) 2,0 s
(e) pi s

Passo 1

O enunciado descreve um M.H.S. horizontal com massa m=5,0 kg e posição
x(t)=20senl(tfracpi3t-tfracpi4r),
sendo x em cm. Queremos o instante em que a energia potencial U vale metade da energia mecânica total E.

Passo 2

Na oscilação harmônica simples temos
U=tfrac12 kx^2, E=tfrac12 kA^2,
onde A é a amplitude. A condição U=tfrac12E implica
tfrac12 kx^2=tfrac12l(tfrac12kA^2r) Longrightarrow x^2=tfracA^22 Longrightarrow |x|=tfracAraiz2

Passo 3

Da expressão do movimento a amplitude é
A=20 cm
Logo queremos
|20sen(theta)|= tfrac20raiz2 Longrightarrow |sen(theta)|=tfracraiz22,
onde definimos theta=tfracpi3t-tfracpi4.

Passo 4

As soluções básicas de sen(theta)=pmraiz22 são
theta=tfracpi4, tfrac3pi4,dots. Tomando
theta=tfracpi4 temos
tfracpi3t-tfracpi4=tfracpi4 Longrightarrow tfracpi3t=tfracpi2 Longrightarrow t=tfrac32=1,5 s
Essa é a menor solução positiva que aparece nas alternativas.

Resposta

(c) 1,5 s

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