Exercício 1. Sabemos que o espaço de soluções de uma equação diferencial linear
é um espaço vetorial de dimensão 2 e, portanto, o espaço de soluções é totalmente descrito se encontrarmos duas soluções linearmente independentes. O seguinte resultado é útil para mostrar que duas funções são linearmente independentes:
Teorema: Sejam duas funções definidas em um intervalo . Se
então as funções são linearmente independentes.
Suponha que
e
sejam duas soluções em série de potências com e . Mostre que as soluções são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado diz que, para a equação linear homogênea
o espaço de soluções tem dimensão 2 e basta achar duas soluções linearmente independentes. Ele nos dá duas soluções em série centradas em :
com condições iniciais nos coeficientes , , , . Queremos usar o critério do Wronskiano para mostrar que e são linearmente independentes.
Passo 2
O Wronskiano de duas funções é definido por
Pelo teorema, se existe em tal que , então e são linearmente independentes em todo o intervalo.
Passo 3
Vamos avaliar o Wronskiano em . Primeiro, pelas séries:
As derivadas são
logo em vêm
Então
Passo 4
Como W(y1,y2)(x0)=1neq0, o teorema do Wronskiano garante que y1 e y2 são linearmente independentes no intervalo considerado.
Resposta
As soluções y1 e y2 são linearmente independentes.