Exercício 1. Sabemos que o espaço de soluções de uma equação diferencial linear
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0,
é um espaço vetorial de dimensão 2 e, portanto, o espaço de soluções é totalmente descrito se encontrarmos duas soluções linearmente independentes. O seguinte resultado é útil para mostrar que duas funções são linearmente independentes:
Teorema: Sejam y1, y2 duas funções definidas em um intervalo I subset R. Se
det[ll y1 & y2 y1 ^prime & y2 ^prime ] neq 0
então as funções y1, y2 são linearmente independentes.
Suponha que
y1(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
e
y2(x)=sumn=0^infty bn(x-x0)^n
sejam duas soluções em série de potências com a0=b1=1 e a1=b0=0. Mostre que as soluções y1, y2 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado diz que, para a equação linear homogênea
P(x),y''+Q(x),y'+R(x),y=0,
o espaço de soluções tem dimensão 2 e basta achar duas soluções linearmente independentes. Ele nos dá duas soluções em série centradas em x0:
y1(x)=sumn=0^inftyan(x-x0)^n, y2(x)=sumn=0^inftybn(x-x0)^n,
com condições iniciais nos coeficientes a0=1, a1=0, b0=0, b1=1. Queremos usar o critério do Wronskiano para mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 2

O Wronskiano de duas funções y1,y2 é definido por
W(y1,y2)(x) =det y1(x)&y2(x) y1'(x)&y2'(x) =y1(x),y2'(x)-y2(x),y1'(x)
Pelo teorema, se existe x em I tal que W(y1,y2)(x)neq0, então y1 e y2 são linearmente independentes em todo o intervalo.

Passo 3

Vamos avaliar o Wronskiano em x=x0. Primeiro, pelas séries:
y1(x0)=a0=1, y2(x0)=b0=0
As derivadas são
y1'(x)=sumn=1^infty n,an(x-x0)^n-1, y2'(x)=sumn=1^infty n,bn(x-x0)^n-1,
logo em x0 vêm
y1'(x0)=a1=0, y2'(x0)=b1=1
Então
W(y1,y2)(x0) =det 1 & 0 0 & 1 =1cdot1-0cdot0=1neq0

Passo 4

Como W(y1,y2)(x0)=1neq0, o teorema do Wronskiano garante que y1 e y2 são linearmente independentes no intervalo considerado.

Resposta

As soluções y1 e y2 são linearmente independentes.

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