Questão 13.

Um teleférico transporta 100passageiros com um massa mé-
dia de 70 kg a uma altura de 150 m em 60 s , com velocidade constante, qual a potência média do teleférico?

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a potência média do teleférico. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • número de passageiros: 100,
  • massa média de cada passageiro: 70\\ \mathrm{kg},
  • altura a ser vencida: 150\\ \mathrm{m},
  • tempo de subida: 60\\ \mathrm{s},
  • o movimento ocorre com velocidade constante (isso nos diz que a energia cinética não muda durante a subida).
Não há outras informações (por exemplo, atrito ou eficiência do motor), portanto vamos considerar apenas o trabalho necessário para elevar os passageiros contra a gravidade.

Passo 2

Conceito importante: potência média é a taxa de transferência de energia no tempo. Matematicamente, a potência média P é dada por
P=\frac{W}{t},
onde W é o trabalho realizado (ou a variação de energia) e t é o intervalo de tempo. Aqui o trabalho realizado pelo teleférico, ao subir os passageiros contra a gravidade, é igual ao aumento da energia potencial gravitacional.
A energia potencial gravitacional aumentada ao elevar uma massa m por uma altura h é
\Delta U = m g h,
onde g é a aceleração da gravidade. Em problemas práticos usamos g=\;9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor aproximado da gravidade na superfície da Terra).
Vou explicar cada variável:
  • m: massa total que está sendo elevada (em \mathrm{kg});
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2});
  • h: altura vertical elevada (em \mathrm{m});
  • \Delta U: energia (em joules, \mathrm{J}), pois 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.

Passo 3

Calculamos a massa total dos 100 passageiros. Cada passageiro tem massa média 70\\ \mathrm{kg}, logo
m_{\text{total}} = 100 \times 70\\ \mathrm{kg} = 7000\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora calculamos o aumento de energia potencial gravitacional usando \Delta U = m g h. Substituindo m_{\text{total}}=7000\\ \mathrm{kg}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e h=150\\ \mathrm{m}:
\Delta U = 7000 \times 9,8 \times 150\\ \mathrm{J}.
Faço a conta em passos para ficar bem claro:
7000 \times 150 = 1\,050\,000.
Em seguida
1\,050\,000 \times 9,8 = 1\,050\,000 \times (9 + 0,8) = 9\,450\,000 + 840\,000 = 10\,290\,000\\ \mathrm{J}.
Logo \Delta U = 10\,290\,000\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A potência média é \displaystyle P=\frac{\Delta U}{t}. O tempo dado é t=60\\ \mathrm{s}. Assim,
P=\frac{10\,290\,000}{60}\\ \mathrm{W}.
Para dividir:
10\,290\,000 \div 60 = 10\,290\,000 \div (6\times 10) = \frac{10\,290\,000}{6}\times\frac{1}{10}.
Calcule \displaystyle \frac{10\,290\,000}{6}=1\,715\,000, então
P = 1\,715\,000 \times \frac{1}{10} = 171\,500\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Convém dar o resultado também em quilowatts para ficar mais intuitivo: 1\\ \mathrm{kW}=1000\\ \mathrm{W}, portanto
P = \frac{171\,500}{1000} = 171{,}5\\ \mathrm{kW}.
Observação didática final: usamos a hipótese de velocidade constante para afirmar que não há variação de energia cinética (se houvesse aceleração precisaríamos incluir isso). Também ignoramos perdas por atrito, resistência do ar e eficiência do motor; na prática o motor necessitaria de potência maior para compensar essas perdas.

Resposta

Potência média =171\,500\\ \mathrm{W}
Potência média =171{,}5\\ \mathrm{kW}

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