Calcule a integral de linha.
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=e^{i} \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k} e C é dada por \mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}-t \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde a campo de vetores é
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{x}\,\mathbf{i}+x z\,\mathbf{j}+(x+y)\,\mathbf{k}
e a curva C é dada pela parametrização
\mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+t^{3}\,\mathbf{j}-t\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é a definição de integral de linha para campos não necessariamente conservativos, que se faz por
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro \mathbf{r}'(t) e também substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}.
\mathbf{r}(t)=(t^{2},\,t^{3},\,-t)\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{r}'(t)=(2t,\,3t^{2},\,-1).
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(e^{t^{2}},\;t^{2}\cdot(-t),\;t^{2}+t^{3}\bigr)=(e^{t^{2}},\,-t^{3},\,t^{2}+t^{3}).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{t^{2}}\cdot2t+(-t^{3})\cdot3t^{2}+(t^{2}+t^{3})\cdot(-1)
que simplifica para
\;2t\,e^{t^{2}}-3t^{5}-t^{2}-t^{3}.

Passo 4

Integramos de t=0 até t=1:
\int_{0}^{1}\bigl(2t\,e^{t^{2}}-3t^{5}-t^{2}-t^{3}\bigr)\,dt =\underbrace{\int_{0}^{1}2t\,e^{t^{2}}\,dt}_{\displaystyle e-1} -3\int_{0}^{1}t^{5}\,dt-\int_{0}^{1}t^{2}\,dt-\int_{0}^{1}t^{3}\,dt.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}2t\,e^{t^{2}}\,dt=e^{t^{2}}\Big|_{0}^{1}=e-1,\quad \int_{0}^{1}t^{5}\,dt=\tfrac{1}{6},\quad \int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\tfrac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\tfrac{1}{4}.
Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =(e-1)-3\cdot\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4} =e-1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}.
Somando as frações \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{6+4+3}{12}=\tfrac{13}{12},
temos
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =e-1-\tfrac{13}{12}=e-\tfrac{25}{12}.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =e-\tfrac{25}{12}.

Exercícios relacionados