32 Um calorímetro de equivalente em água igual a 20 g , se encontra em equilíbrio térmico com 100 g de gelo e 180 g de água. Se 20 g de vapor é injetado a 100^{\circ} \mathrm{C}, determine a temperatura de equilíbrio térmico e o calor transferido durante o processo. \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ; \mathrm{L}_{\mathrm{v}}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara dos dados e perguntas):
  • Massa de gelo: m_{\text{gelo}} = 100\\ \mathrm{g}.
  • Massa de água inicial: m_{\text{água}} = 180\\ \mathrm{g}á.
  • Equivalente em água do calorímetro: m_{\text{cal}} = 20\\ \mathrm{g} (isto significa que o calorímetro se comporta termicamente como 20\\ \mathrm{g} de água).
  • Massa de vapor injetado a 100^\circ\mathrm{C}: m_{\text{vapor}} = 20\\ \mathrm{g}.
  • Calores latentes fornecidos: L_{\mathrm{f}} = 80\\ \mathrm{cal/g} (fusão) e L_{\mathrm{v}} = 540\\ \mathrm{cal/g} (vaporização).
  • Temperaturas iniciais: o gelo, a água e o calorímetro estão em equilíbrio térmico (portanto em 0^\circ\mathrm{C} antes da injeção do vapor). O vapor está a 100^\circ\mathrm{C}.
    As perguntas:
  1. Determinar a temperatura de equilíbrio térmico final T_{\text{eq}}.
  2. Determinar o calor transferido durante o processo (valor numérico em calorias).

Passo 2

Observação física e escolha do método (sem resolver ainda):
  • O sistema é isolado (energia trocada é entre o vapor e o conjunto gelo+água+calorímetro). Logo vale conservação de energia: soma algébrica dos calores trocados = 0.
  • Tipos de trocas de calor envolvidos:
    1. O vapor de água de 100^\circ\mathrm{C} se condensa, liberando calor igual a m_{\text{vapor}} L_{\mathrm{v}}.
    2. O produto da condensação (água a 100^\circ\mathrm{C}) pode resfriar de 100^\circ\mathrm{C} até T_{\text{eq}}, liberando calor sensível m_{\text{vapor}} c (100 - T_{\text{eq}}).
    3. O gelo inicialmente a 0^\circ\mathrm{C} pode derreter consumindo m_{\text{gelo}} L_{\mathrm{f}}.
    4. Após eventual fusão do gelo, toda a água presente (água inicial + água do gelo derretido + água formada pela condensação + calorímetro equivalente) será aquecida de 0^\circ\mathrm{C} até T_{\text{eq}}, absorvendo calor sensível c\,M\,T_{\text{eq}} onde M é a massa total equivalente em água.
  • Vamos usar a convenção: calor liberado pelo vapor é positivo do lado esquerdo e calor absorvido pelo restante do sistema é positivo do lado direito; pela conservação a soma dos dois será zero.

Passo 3

Lembrar e explicar as fórmulas que usaremos:
  • Calor sensível (variação de temperatura): Q = m c \Delta T.
    • Q é o calor (em \mathrm{cal}),
    • m é a massa (em \mathrm{g}),
    • c é o calor específico (para água usamos c=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}),
    • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Calor latente (mudança de fase): Q = m L,
    • L é o calor latente (em \mathrm{cal/g}): usar L_{\mathrm{f}} para fusão e L_{\mathrm{v}} para vaporização.
  • Variáveis a usar: T_{\text{eq}} incógnita (em ^\circ\mathrm{C}). Adotamos 0^\circ\mathrm{C} < T_{\text{eq}} < 100^\circ\mathrm{C} inicialmente e verificaremos a coerência.

Passo 4

Montar as quantidades numéricas e massa total que se aquece depois de o gelo derreter:
  • Massa de água inicial: m_{\text{água}} = 180\\ \mathrm{g}á (a 0^\circ\mathrm{C} inicialmente).
  • Massa de gelo a ser derretida: m_{\text{gelo}} = 100\\ \mathrm{g}.
  • Massa equivalente do calorímetro: m_{\text{cal}} = 20\\ \mathrm{g} (já em termos de água).
  • Massa da condensação (água proveniente do vapor): m_{\text{vapor}} = 20\\ \mathrm{g} (após condensação virará água).
  • Logo, se o gelo chegar a derreter totalmente, a massa total de água que será aquecida de 0^\circ\mathrm{C} até T_{\text{eq}} é
M = m_{\text{água}} + m_{\text{gelo}} + m_{\text{cal}} + m_{\text{vapor}} = 180 + 100 + 20 + 20 = 320\\ \mathrm{g}.á

Passo 5

Escrever o calor liberado pelo vapor (lado que fornece calor):
  • Calor liberado pela condensação do vapor:
Q_{\text{cond}} = m_{\text{vapor}} L_{\mathrm{v}}.
  • Calor liberado ao resfriar a água condensada de 100^\circ\mathrm{C} até T_{\text{eq}}:
Q_{\text{resfr}} = m_{\text{vapor}} c (100 - T_{\text{eq}}).
  • Somando,
Q_{\text{vapor}} = m_{\text{vapor}} L_{\mathrm{v}} + m_{\text{vapor}} c (100 - T_{\text{eq}}).
Agora substituindo os números ( m_{\text{vapor}}=20\\ \mathrm{g}, L_{\mathrm{v}}=540\\ \mathrm{cal/g}, c=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}):
Q_{\text{vapor}} = 20\cdot 540 + 20\cdot 1\cdot(100 - T_{\text{eq}}) = 10800 + 2000 - 20\,T_{\text{eq}} = 12800 - 20\,T_{\text{eq}}\\ \mathrm{cal}.

Passo 6

Escrever o calor absorvido pelo conjunto gelo+água+calorímetro (lado que recebe calor):
  • Primeiro, o gelo precisa derreter totalmente (se assim for): calor de fusão
Q_{\text{fusão}} = m_{\text{gelo}} L_{\mathrm{f}} = 100\cdot 80 = 8000\\ \mathrm{cal}.ã
  • Depois, toda a massa M (definida no Passo 4) é aquecida de 0^\circ\mathrm{C} até T_{\text{eq}}:
Q_{\text{aquec}} = c\,M\,T_{\text{eq}} = 1\cdot 320 \cdot T_{\text{eq}} = 320\,T_{\text{eq}}\\ \mathrm{cal}.
  • Somando absorção total:
Q_{\text{absorvido}} = Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{aquec}} = 8000 + 320\,T_{\text{eq}}\\ \mathrm{cal}.ã

Passo 7

Aplicar conservação de energia (energia cedida pelo vapor = energia absorvida pelo restante):
Q_{\text{vapor}} = Q_{\text{absorvido}}.
Substituindo as expressões:
12800 - 20\,T_{\text{eq}} = 8000 + 320\,T_{\text{eq}}.
Reorganizando para achar T_{\text{eq}}:
12800 - 8000 = 320\,T_{\text{eq}} + 20\,T_{\text{eq}} \quad\Rightarrow\quad 4800 = 340\,T_{\text{eq}}.
Logo
T_{\text{eq}} = \frac{4800}{340} = \frac{240}{17}\\ \,^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular numericamente T_{\text{eq}} e verificar coerência:
  • Valor numérico:
T_{\text{eq}} = \frac{240}{17} \approx 14,117647\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Como 0^\circ\mathrm{C} < T_{\text{eq}} < 100^\circ\mathrm{C}, a hipótese inicial (gelo derrete totalmente e a água resultante aquece até T_{\text{eq}}) é coerente. Portanto não houve necessidade de considerar caso em que sobra gelo.

Passo 9

Calcular o calor total transferido (valor numérico), usando qualquer dos lados (devem dar o mesmo valor). Usamos Q_{\text{absorvido}} = 8000 + 320\,T_{\text{eq}}.
  • Substituindo T_{\text{eq}} = \dfrac{240}{17}:
Q = 8000 + 320\cdot\frac{240}{17} = 8000 + \frac{76800}{17} = \frac{136000 + 76800}{17} = \frac{212800}{17}\\ \mathrm{cal}.
  • Valor numérico:
Q \approx 12517,647\ldots\\ \mathrm{cal}.

Passo 10

Interpretação final e incentivo rápido:
  • O vapor liberou calor ao se condensar e ao se resfriar; esse calor foi usado principalmente para derreter todo o gelo e aquecer a massa de água + calorímetro até a temperatura final.
  • Resultado obtido é consistente e pode ser reproduzido em prova fazendo a equação de balanço energético que montamos. Vai dar certo se você organizar os termos como fizemos. Força aí, já já pega o jeito!

Resposta

Temperatura de equilíbrio: T_{\text{eq}}=\dfrac{240}{17}\approx14,12^\circ\mathrm{C}
Calor transferido: Q=\dfrac{212800}{17}\approx12517,65\\ \mathrm{cal}

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